Вопросы, страница 87 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Что такое многочлен, его степень и стандартный вид?

Почему выражения $3 + a$; $a^2 - b^2$; $8c + 0,7d^2$; $\frac{2}{9}xy^2 + z - 3$ являются многочленами?

Почему членами многочлена $25a + \frac{7}{9}xy^2 - 1,11n^4 + 10$ являются одночлены $25a$; $\frac{7}{9}xy^2$; $-1,11n^4$; $10$?

Почему $\frac{8}{11} + 6c$; $y^5 - 7,3$ являются двучленами?

Почему многочлен $8xy^2 + 0,5mx - 0,7$ есть многочлен третьей степени?

1. Какое наименьшее число одночленов может содержать многочлен?

2. Как называется сумма: двух одночленов; трех одночленов; пяти одночленов?

3. Может ли степень многочлена быть равной нулю; единице?

4. Приведите пример многочлена второй степени.

Что такое многочлен, его степень и стандартный вид?
Многочленом называется алгебраическое выражение, представляющее собой сумму нескольких одночленов. Одночлен — это произведение чисел, переменных и их неотрицательных целых степеней. Например, $5x^2y$ — это одночлен, а $5x^2y + 3x - 1$ — это многочлен.
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Например, степень одночлена $7a^2b^3c$ равна $2+3+1=6$.
Стандартный вид многочлена — это форма записи многочлена, в которой все его члены являются одночленами стандартного вида (т.е. числовой множитель стоит на первом месте, а переменные записаны в алфавитном порядке), и среди них нет подобных членов (членов с одинаковой буквенной частью). Члены многочлена при этом обычно располагают в порядке убывания их степеней. Например, многочлен $3x^2 - 5x + 2x^2 + 7$ после приведения подобных слагаемых ($3x^2+2x^2=5x^2$) и упорядочивания примет стандартный вид $5x^2 - 5x + 7$.
Ответ: Многочлен — это сумма одночленов. Степень многочлена — это наибольшая из степеней его членов. Стандартный вид многочлена — это запись, в которой все члены приведены к стандартному виду, отсутствуют подобные слагаемые, и члены упорядочены по убыванию степеней.

Почему выражения $3 + a$; $a^2 - b^2$; $8c + 0,7d^2$; $\frac{2}{9}xy^2 + z - 3$ являются многочленами?
Согласно определению, многочлен — это сумма одночленов. Каждое из приведенных выражений представляет собой такую сумму:
• $3 + a$ — это сумма одночленов $3$ и $a$.
• $a^2 - b^2$ можно записать как сумму $a^2 + (-b^2)$, где $a^2$ и $-b^2$ — одночлены.
• $8c + 0,7d^2$ — это сумма одночленов $8c$ и $0,7d^2$.
• $\frac{2}{9}xy^2 + z - 3$ можно записать как сумму $\frac{2}{9}xy^2 + z + (-3)$, где $\frac{2}{9}xy^2$, $z$ и $-3$ — одночлены.
Поскольку все эти выражения являются суммами одночленов, они являются многочленами.
Ответ: Данные выражения являются многочленами, так как каждое из них представляет собой сумму одночленов.

Почему членами многочлена $25a + \frac{7}{9}xy^2 - 1,11n^4 + 10$ являются одночлены $25a$; $\frac{7}{9}xy^2$; $-1,11n^4$; $10$?
Члены многочлена — это одночлены, из которых состоит многочлен. Чтобы их определить, нужно представить многочлен в виде алгебраической суммы. Данный многочлен можно записать так:
$25a + (\frac{7}{9}xy^2) + (-1,11n^4) + 10$.
Слагаемыми в этой сумме являются одночлены $25a$, $\frac{7}{9}xy^2$, $-1,11n^4$ и $10$. Именно они и называются членами этого многочлена.
Ответ: Указанные одночлены являются членами данного многочлена, потому что многочлен по определению является их алгебраической суммой.

Почему $\frac{8}{11} + 6c$; $y^5 - 7,3$ являются двучленами?
Двучлен (или бином) — это многочлен, состоящий ровно из двух членов. Рассмотрим данные выражения:
• Выражение $\frac{8}{11} + 6c$ состоит из двух одночленов: $\frac{8}{11}$ и $6c$.
• Выражение $y^5 - 7,3$ состоит из двух одночленов: $y^5$ и $-7,3$.
Поскольку каждое из этих выражений является суммой ровно двух одночленов, они являются двучленами.
Ответ: Эти выражения являются двучленами, так как каждое из них состоит из двух членов (одночленов).

Почему многочлен $8xy^2 + 0,5mx - 0,7$ есть многочлен третьей степени?
Степень многочлена определяется по наибольшей степени его членов. Найдем степени каждого члена данного многочлена:
• Степень одночлена $8xy^2$ равна сумме степеней его переменных: $1$ (у $x$) + $2$ (у $y$) = $3$.
• Степень одночлена $0,5mx$ (считая $m$ и $x$ переменными) равна $1$ (у $m$) + $1$ (у $x$) = $2$.
• Степень члена $-0,7$ (свободный член, не содержит переменных) равна $0$.
Степени членов многочлена равны $3$, $2$ и $0$. Наибольшая из них — $3$. Следовательно, степень всего многочлена равна $3$.
Ответ: Степень этого многочлена равна $3$, так как наибольшая степень его членов ($8xy^2$) равна $3$.

1. Какое наименьшее число одночленов может содержать многочлен?
По определению, многочлен — это сумма одного или нескольких одночленов. Таким образом, даже один одночлен уже является многочленом. Например, $7x^3$ — это многочлен, состоящий из одного члена. Такой многочлен чаще называют одночленом.
Ответ: Наименьшее число одночленов в многочлене — один.

2. Как называется сумма: двух одночленов; трех одночленов; пяти одночленов?
• Сумма двух одночленов называется двучленом (или биномом). Например, $a+b$.
• Сумма трех одночленов называется трехчленом (или триномом). Например, $x^2+2x+1$.
• Для суммы пяти одночленов специального общепринятого названия нет. Ее называют просто многочленом или, при необходимости уточнения, "многочленом из пяти членов".
Ответ: Двучлен; трехчлен; многочлен.

3. Может ли степень многочлена быть равной нулю; единице?
Да, степень многочлена может быть равна и нулю, и единице.
• Степень нуль: Любое отличное от нуля число является многочленом нулевой степени. Например, многочлен $P(x) = 15$. Его можно записать как $15x^0$, степень переменной равна $0$.
• Степень один: Любой многочлен, в котором наибольшая степень переменной равна $1$, является многочленом первой степени (линейным многочленом). Например, $P(x) = 4x - 9$. Наибольшая степень $x$ здесь равна $1$.
Ответ: Да, может.

4. Приведите пример многочлена второй степени.
Многочлен второй степени (также называемый квадратным многочленом или квадратным трехчленом) — это многочлен, в котором наибольшая степень его членов равна двум. Например:
• $5x^2 - 11x + 2$ (с одной переменной).
• $ab + 3a - 5b$ (с двумя переменными, степень члена $ab$ равна $1+1=2$).
• $y^2 - 9$ (двучлен второй степени).
Ответ: Примером многочлена второй степени является $x^2 + 4x - 5$.