Номер 10.12, страница 85 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.12. Представьте в виде квадрата одночлен:

1) $16a^6$;

2) $100m^8n^4$;

3) $\frac{25}{81} x^6 y^{12}$;

4) $\frac{169}{225} a^{10} b^2$;

5) $3,24m^4p^{14}$;

6) $0,0289 \frac{x^{20}}{y^{18}}$.

Чтобы представить одночлен в виде квадрата другого одночлена, нужно найти такой одночлен, который при возведении в квадрат даст исходный. Для этого необходимо извлечь квадратный корень из числового коэффициента и разделить показатели степеней каждой переменной на 2, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

1) $16a^6$

Находим квадратный корень из коэффициента: $\sqrt{16} = 4$.

Делим показатель степени переменной $a$ на 2: $6 \div 2 = 3$.

Получаем одночлен $4a^3$.

Проверка: $(4a^3)^2 = 4^2 \cdot (a^3)^2 = 16a^{3 \cdot 2} = 16a^6$.

Ответ: $(4a^3)^2$.

2) $100m^8n^4$

Находим квадратный корень из коэффициента: $\sqrt{100} = 10$.

Делим показатели степеней переменных на 2: для $m$ получаем $8 \div 2 = 4$, для $n$ получаем $4 \div 2 = 2$.

Получаем одночлен $10m^4n^2$.

Проверка: $(10m^4n^2)^2 = 10^2 \cdot (m^4)^2 \cdot (n^2)^2 = 100m^{4 \cdot 2}n^{2 \cdot 2} = 100m^8n^4$.

Ответ: $(10m^4n^2)^2$.

3) $\frac{25}{81}x^6y^{12}$

Находим квадратный корень из коэффициента: $\sqrt{\frac{25}{81}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{81}} = \frac{5}{9}$.

Делим показатели степеней переменных на 2: для $x$ получаем $6 \div 2 = 3$, для $y$ получаем $12 \div 2 = 6$.

Получаем одночлен $\frac{5}{9}x^3y^6$.

Проверка: $(\frac{5}{9}x^3y^6)^2 = (\frac{5}{9})^2 \cdot (x^3)^2 \cdot (y^6)^2 = \frac{25}{81}x^{3 \cdot 2}y^{6 \cdot 2} = \frac{25}{81}x^6y^{12}$.

Ответ: $(\frac{5}{9}x^3y^6)^2$.

4) $\frac{169}{225}a^{10}b^2$

Находим квадратный корень из коэффициента: $\sqrt{\frac{169}{225}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{225}} = \frac{13}{15}$.

Делим показатели степеней переменных на 2: для $a$ получаем $10 \div 2 = 5$, для $b$ получаем $2 \div 2 = 1$.

Получаем одночлен $\frac{13}{15}a^5b$.

Проверка: $(\frac{13}{15}a^5b)^2 = (\frac{13}{15})^2 \cdot (a^5)^2 \cdot b^2 = \frac{169}{225}a^{5 \cdot 2}b^2 = \frac{169}{225}a^{10}b^2$.

Ответ: $(\frac{13}{15}a^5b)^2$.

5) $3,24m^4p^{14}$

Находим квадратный корень из коэффициента: $\sqrt{3,24} = 1,8$ (так как $18^2 = 324$).

Делим показатели степеней переменных на 2: для $m$ получаем $4 \div 2 = 2$, для $p$ получаем $14 \div 2 = 7$.

Получаем одночлен $1,8m^2p^7$.

Проверка: $(1,8m^2p^7)^2 = (1,8)^2 \cdot (m^2)^2 \cdot (p^7)^2 = 3,24m^{2 \cdot 2}p^{7 \cdot 2} = 3,24m^4p^{14}$.

Ответ: $(1,8m^2p^7)^2$.

6) $0,0289\frac{x^{20}}{y^{18}}$

Находим квадратный корень из коэффициента: $\sqrt{0,0289} = 0,17$ (так как $17^2 = 289$).

Делим показатели степеней переменных на 2: для $x$ в числителе получаем $20 \div 2 = 10$, для $y$ в знаменателе получаем $18 \div 2 = 9$.

Получаем выражение $0,17\frac{x^{10}}{y^9}$.

Проверка: $(0,17\frac{x^{10}}{y^9})^2 = (0,17)^2 \cdot \frac{(x^{10})^2}{(y^9)^2} = 0,0289\frac{x^{20}}{y^{18}}$.

Ответ: $(0,17\frac{x^{10}}{y^9})^2$.