Номер 10.13, страница 85 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.13. Выпишите выражения, которые можно представить в виде квадрата и в виде куба одночлена, содержащие степени с натуральным показателем:

1) $a^{13}b^{30}$;

2) $n^{6}m^{18}k^{9}$;

3) $x^{24}y^{16}z^{20}$;

4) $0,16a^{2}b^{6}$;

5) $216a^{6}b^{6}$;

6) $7,296a^{15}c^{9}$.

Для того чтобы выражение можно было представить одновременно и в виде квадрата, и в виде куба одночлена, оно должно удовлетворять двум условиям:

1. Числовой коэффициент должен быть одновременно точным квадратом и точным кубом некоторого рационального числа. Это равносильно тому, что коэффициент должен быть шестой степенью рационального числа (например, $64 = 8^2 = 4^3 = 2^6$).

2. Показатели степеней всех переменных в выражении должны быть кратны и 2, и 3 одновременно. Это означает, что все показатели степеней должны быть кратны наименьшему общему кратному чисел 2 и 3, то есть 6.

Проверим каждое из данных выражений на соответствие этим условиям.

1) $a^{13}b^{30}$
Коэффициент равен 1, что является шестой степенью ($1^6 = 1$), поэтому условие для коэффициента выполнено. Проверим показатели степеней: 13 и 30. Показатель 13 не делится на 6 (так как не делится ни на 2, ни на 3). Следовательно, выражение не удовлетворяет второму условию.
Ответ: не подходит.

2) $n^6m^{18}k^9$
Коэффициент равен 1, условие для коэффициента выполнено. Проверим показатели степеней: 6, 18 и 9. Показатели 6 и 18 делятся на 6. Однако показатель 9 не делится на 6 (так как 9 не делится на 2). Следовательно, выражение не удовлетворяет второму условию.
Ответ: не подходит.

3) $x^{24}y^{16}z^{20}$
Коэффициент равен 1, условие для коэффициента выполнено. Проверим показатели степеней: 24, 16 и 20. Показатель 24 делится на 6. Однако показатели 16 и 20 не делятся на 6 (так как не делятся на 3). Следовательно, выражение не удовлетворяет второму условию.
Ответ: не подходит.

4) $0,16a^2b^6$
Проверим коэффициент 0,16. $0,16 = 0,4^2$, то есть является квадратом. Однако $0,16$ не является кубом рационального числа, так как $\sqrt[3]{0,16}$ – иррациональное число. Следовательно, выражение не удовлетворяет первому условию.
Ответ: не подходит.

5) $216a^6b^6$
Проверим коэффициент 216. $216 = 6^3$, то есть является кубом. Однако $216$ не является квадратом рационального числа, так как $\sqrt{216} = 6\sqrt{6}$ – иррациональное число. Следовательно, выражение не удовлетворяет первому условию.
Ответ: не подходит.

6) $7,296a^{15}c^9$
Проверим коэффициент 7,296. Это число не является ни точным квадратом, ни точным кубом рационального числа. Кроме того, показатели степеней 15 и 9 не делятся на 2. Следовательно, выражение не удовлетворяет ни первому, ни второму условию.
Ответ: не подходит.

Таким образом, после анализа всех выражений выясняется, что ни одно из них не может быть представлено одновременно в виде квадрата и в виде куба одночлена.

Ответ: Среди предложенных выражений нет таких, которые можно представить в виде квадрата и в виде куба одночлена.