Номер 9.26, страница 78 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.26. Верно ли, что натуральным числом является значение выражения:

1) $\frac{(3^3 \cdot x)^2}{(x^2)^3 \cdot b^2}$ при $x = 0,5$ и $b = \frac{1}{3}$;

2) $\frac{(a^3 \cdot x^4)^2}{(a^2)^2 \cdot x^7}$ при $a = 0,1$ и $x = 2?

1) Для того чтобы определить, является ли значение выражения натуральным числом, сначала упростим его, используя свойства степеней.

Исходное выражение: $\frac{(3^3 \cdot x)^2}{(x^2)^3 \cdot b^2}$

1. Раскроем скобки в числителе и знаменателе, используя правила возведения в степень произведения ($(ab)^n = a^n b^n$) и возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{mn}$):
Числитель: $(3^3 \cdot x)^2 = (3^3)^2 \cdot x^2 = 3^{3 \cdot 2} \cdot x^2 = 3^6 x^2$.
Знаменатель: $(x^2)^3 \cdot b^2 = x^{2 \cdot 3} \cdot b^2 = x^6 b^2$.

2. Подставим упрощенные части обратно в дробь:
$\frac{3^6 x^2}{x^6 b^2}$

3. Сократим дробь, используя свойство частного степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$\frac{3^6}{x^{6-2} b^2} = \frac{3^6}{x^4 b^2}$

4. Теперь подставим в упрощенное выражение заданные значения $x = 0,5$ и $b = \frac{1}{3}$. Для удобства вычислений представим $0,5$ в виде обыкновенной дроби: $x = \frac{1}{2}$.
$\frac{3^6}{(\frac{1}{2})^4 \cdot (\frac{1}{3})^2} = \frac{3^6}{\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{9}} = \frac{3^6}{\frac{1}{144}}$

5. Выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$3^6 \cdot 144 = 729 \cdot 144 = 104976$.

Полученное значение $104976$ является целым положительным числом, то есть натуральным числом.

Ответ: Да, верно.

2) Аналогично первому пункту, сначала упростим выражение.

Исходное выражение: $\frac{(a^3 \cdot x^4)^2}{(a^2)^2 \cdot x^7}$

1. Раскроем скобки в числителе и знаменателе:
Числитель: $(a^3 \cdot x^4)^2 = (a^3)^2 \cdot (x^4)^2 = a^{3 \cdot 2} \cdot x^{4 \cdot 2} = a^6 x^8$.
Знаменатель: $(a^2)^2 \cdot x^7 = a^{2 \cdot 2} \cdot x^7 = a^4 x^7$.

2. Подставим упрощенные части обратно в дробь:
$\frac{a^6 x^8}{a^4 x^7}$

3. Сократим дробь по свойствам степеней:
$a^{6-4} \cdot x^{8-7} = a^2 \cdot x^1 = a^2x$.

4. Теперь подставим в упрощенное выражение заданные значения $a = 0,1$ и $x = 2$:
$(0,1)^2 \cdot 2 = 0,01 \cdot 2 = 0,02$.

Полученное значение $0,02$ является дробным числом. Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \ldots$). Следовательно, $0,02$ не является натуральным числом.

Ответ: Нет, неверно.