Вопросы, страница 80 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Что такое одночлен, его степень и стандартный вид? Как умножать одночлены?

Почему указанные выше произведения являются одночленами?

1. Можно ли одночлен представить как выражение, состоящее только из произведения числа и степени с натуральным показателем? Почему?

2. Правильно ли следующее определение одночлена: “Одночленом называется всякое выражение, в котором последним по порядку действием является не сложение и не вычитание”? Почему?

3. Верно ли: 1) любой одночлен является выражением; 2) любое выражение является одночленом?

Что такое одночлен, его степень и стандартный вид? Как умножать одночлены?

Одночлен – это алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение чисел, переменных и их степеней с натуральными показателями. Одночленами также считаются сами числа и переменные.
Например: $5$, $x$, $-3a^2$, $\frac{1}{2}xy^3z$. Выражения $a+b$ или $x/y$ не являются одночленами.

Стандартный вид одночлена – это форма записи, при которой на первом месте стоит числовой множитель (называемый коэффициентом), а за ним – произведения степеней различных переменных, расположенных в алфавитном порядке. Каждая переменная в стандартном виде встречается только один раз.
Например, одночлен $4x^2y \cdot (-2)x^3$ в нестандартном виде. Его стандартный вид: $-8x^5y$. Коэффициент этого одночлена равен $-8$.

Степень одночлена – это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Если одночлен является числом, отличным от нуля, его степень равна нулю. Степень нулевого одночлена (0) не определена.
Например, степень одночлена $-8x^5y$ (что то же самое, что и $-8x^5y^1$) равна $5+1=6$. Степень одночлена $7$ равна $0$.

Умножение одночленов. Чтобы умножить один одночлен на другой, нужно:
1. Перемножить их числовые коэффициенты.
2. Перемножить их переменные части, используя правило умножения степеней с одинаковыми основаниями: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
3. Записать полученный результат в стандартном виде.
Например: $(3a^2b^3) \cdot (-5ab^4) = (3 \cdot (-5)) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot (b^3 \cdot b^4) = -15a^{2+1}b^{3+4} = -15a^3b^7$.

Ответ: Одночлен — это произведение чисел и переменных в степенях. Стандартный вид — это когда коэффициент стоит на первом месте, а переменные в алфавитном порядке и не повторяются. Степень — это сумма показателей степеней всех переменных. Для умножения одночленов нужно перемножить их коэффициенты и сложить показатели степеней одинаковых переменных.

Почему указанные выше произведения являются одночленами?

Произведения, которые обычно приводятся в качестве примеров (например, $2x$, $5a^2b$), являются одночленами, потому что они полностью соответствуют определению одночлена. Каждое из них является произведением числового коэффициента и одной или нескольких переменных, возведенных в натуральную степень. В этих выражениях отсутствуют операции сложения или вычитания между различными буквенными или числовыми частями, а также отсутствует деление на переменную.

Ответ: Потому что они являются произведением чисел и переменных в натуральных степенях и не содержат операций сложения, вычитания или деления на переменную.

1. Можно ли одночлен представить как выражение, состоящее только из произведения числа и степени с натуральным показателем? Почему?

Нет, не всегда. Это возможно только для одночленов, которые содержат не более одной переменной. Например, одночлен $5x^3$ можно представить как произведение числа $5$ и степени $x^3$. Однако одночлен, содержащий несколько переменных, например, $7a^2b^4$, является произведением числа ($7$) и нескольких степеней с натуральными показателями ($a^2$ и $b^4$). Его нельзя представить как произведение числа и одной-единственной степени.

Ответ: Нет, нельзя, потому что одночлен может содержать несколько разных переменных, и в таком случае он будет произведением числа и нескольких степеней, а не одной.

2. Правильно ли следующее определение одночлена: "Одночленом называется всякое выражение, в котором последним по порядку действием является не сложение и не вычитание"? Почему?

Нет, данное определение неправильно. Оно является слишком широким и включает выражения, которые не являются одночленами.
Почему:
1. Оно включает дроби с переменной в знаменателе. Например, в выражении $a/b$ последнее действие — деление. Это не сложение и не вычитание, но $a/b$ не является одночленом.
2. Оно включает выражения, содержащие скобки. Например, в выражении $(a+b) \cdot c$ последним действием является умножение. По этому определению, оно должно быть одночленом, но на самом деле это многочлен $ac+bc$.
Правильное определение должно четко указывать на то, что одночлен — это именно произведение чисел, переменных и их степеней.

Ответ: Нет, определение неверно, так как оно включает выражения, не являющиеся одночленами, например, $a/b$ или $(x+y) \cdot z$.

3. Верно ли: 1) любой одночлен является выражением; 2) любое выражение является одночленом?

1) любой одночлен является выражением — это утверждение верно. Алгебраическое выражение — это любая запись, составленная из чисел, букв (переменных) и знаков арифметических операций. Одночлен, например $3x^2y$, полностью подпадает под это определение.

2) любое выражение является одночленом — это утверждение неверно. Существует множество алгебраических выражений, которые не являются одночленами. Например, $a+b$ (сумма, многочлен), $x/(y+1)$ (дробно-рациональное выражение), $\sqrt{z}$ (иррациональное выражение). Все это выражения, но не одночлены.

Ответ: 1) Верно; 2) Неверно.