Номер 9.22, страница 77 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Верны ли равенства (9.22–9.23):

9.22. 1) $\frac{(2^4)^6 \cdot 4^5}{16^3 \cdot 8^7} = 2;$

2) $\frac{(17^8)^2 \cdot (17^3)^3 \cdot 16^5}{17^{22} \cdot 289 \cdot 8^6} = 68?$;

1) Чтобы проверить верность равенства $\frac{(2^4)^6 \cdot 4^5}{16^3 \cdot 8^7} = 2$, упростим его левую часть. Для этого представим все числа в виде степени с основанием 2.

Знаем, что $4 = 2^2$, $16 = 2^4$ и $8 = 2^3$. Подставим эти значения в выражение:

$\frac{(2^4)^6 \cdot (2^2)^5}{(2^4)^3 \cdot (2^3)^7}$

Теперь воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\frac{2^{4 \cdot 6} \cdot 2^{2 \cdot 5}}{2^{4 \cdot 3} \cdot 2^{3 \cdot 7}} = \frac{2^{24} \cdot 2^{10}}{2^{12} \cdot 2^{21}}$

Далее применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\frac{2^{24+10}}{2^{12+21}} = \frac{2^{34}}{2^{33}}$

И, наконец, применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{34-33} = 2^1 = 2$

Полученное значение совпадает с правой частью равенства ($2 = 2$).

Ответ: равенство верно.

2) Чтобы проверить верность равенства $\frac{(17^8)^2 \cdot (17^3)^3 \cdot 16^5}{17^{22} \cdot 289 \cdot 8^6} = 68$, упростим его левую часть. Для этого представим числа в виде степеней простых чисел.

Знаем, что $289 = 17^2$, $16 = 2^4$ и $8 = 2^3$. Подставим эти значения в выражение:

$\frac{(17^8)^2 \cdot (17^3)^3 \cdot (2^4)^5}{17^{22} \cdot 17^2 \cdot (2^3)^6}$

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\frac{17^{8 \cdot 2} \cdot 17^{3 \cdot 3} \cdot 2^{4 \cdot 5}}{17^{22} \cdot 17^2 \cdot 2^{3 \cdot 6}} = \frac{17^{16} \cdot 17^9 \cdot 2^{20}}{17^{22} \cdot 17^2 \cdot 2^{18}}$

Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{17^{16+9} \cdot 2^{20}}{17^{22+2} \cdot 2^{18}} = \frac{17^{25} \cdot 2^{20}}{17^{24} \cdot 2^{18}}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{17^{25}}{17^{24}} \cdot \frac{2^{20}}{2^{18}} = 17^{25-24} \cdot 2^{20-18} = 17^1 \cdot 2^2 = 17 \cdot 4 = 68$

Полученное значение совпадает с правой частью равенства ($68 = 68$).

Ответ: равенство верно.