Номер 9.15, страница 76 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.15. Докажите, что отрицательным числом является значение выражения:

1) $\frac{(-3)^3 \cdot 9^{-2}}{(-81)^2}$;

2) $\frac{(-4)^4 \cdot 9^{-2}}{-11^2}$;

3) $\frac{(-3)^3 \cdot (-9^{-2})}{-8^2}$.

1) Чтобы доказать, что значение выражения $\frac{(-3)^3 \cdot 9^{-2}}{(-81)^2}$ является отрицательным числом, определим знаки числителя и знаменателя.

Числитель состоит из двух множителей: $(-3)^3$ и $9^{-2}$.

Первый множитель $(-3)^3$ — это отрицательное число, возведенное в нечетную степень, поэтому результат будет отрицательным: $(-3)^3 = -27$.

Второй множитель $9^{-2}$ — это положительное число, так как $9^{-2} = \frac{1}{9^2} = \frac{1}{81}$.

Произведение отрицательного и положительного чисел отрицательно, следовательно, числитель $(-3)^3 \cdot 9^{-2}$ является отрицательным числом.

Знаменатель $(-81)^2$ — это отрицательное число, возведенное в четную степень, поэтому результат будет положительным: $(-81)^2 = 81^2 > 0$.

Вся дробь представляет собой частное от деления отрицательного числителя на положительный знаменатель. Результат такого деления всегда является отрицательным числом.

Для подтверждения вычислим точное значение выражения, приведя степени к основанию 3:

$\frac{(-3)^3 \cdot 9^{-2}}{(-81)^2} = \frac{-3^3 \cdot (3^2)^{-2}}{(-(3^4))^2} = \frac{-3^3 \cdot 3^{-4}}{(3^4)^2} = \frac{-3^{3-4}}{3^8} = \frac{-3^{-1}}{3^8} = -3^{-1-8} = -3^{-9} = -\frac{1}{3^9}$.

Значение выражения равно $-\frac{1}{19683}$, что является отрицательным числом.

Ответ: значение выражения отрицательно, так как представляет собой частное от деления отрицательного числителя $(-3^3 \cdot 3^{-4} = -3^{-1})$ на положительный знаменатель $(3^8)$.

2) Рассмотрим выражение $\frac{(-4)^4 \cdot 9^{-2}}{-11^2}$.

Определим знак числителя. Множитель $(-4)^4$ — это отрицательное число в четной степени, результат положителен: $(-4)^4 = 4^4 = 256$. Множитель $9^{-2}$ также положителен: $9^{-2} = \frac{1}{81}$. Произведение двух положительных чисел положительно, значит, числитель положителен.

Определим знак знаменателя. Выражение $-11^2$ равно $-(11^2)$, так как возведение в степень имеет более высокий приоритет, чем унарный минус. Таким образом, $-11^2 = -121$, что является отрицательным числом.

Вся дробь представляет собой частное от деления положительного числителя на отрицательный знаменатель. Результат такого деления всегда отрицателен.

Вычислим значение выражения:

$\frac{(-4)^4 \cdot 9^{-2}}{-11^2} = \frac{256 \cdot \frac{1}{81}}{-121} = \frac{\frac{256}{81}}{-121} = -\frac{256}{81 \cdot 121} = -\frac{256}{9801}$.

Полученное число является отрицательным.

Ответ: значение выражения отрицательно, так как представляет собой частное от деления положительного числителя $(256 \cdot \frac{1}{81})$ на отрицательный знаменатель $(-121)$.

3) Рассмотрим выражение $\frac{(-3)^3 \cdot (-9^{-2})}{-8^2}$.

Определим знак числителя. Множитель $(-3)^3$ отрицателен, так как это отрицательное число в нечетной степени: $(-3)^3 = -27$. Множитель $(-9^{-2})$ также отрицателен: $-9^{-2} = -(9^{-2}) = -\frac{1}{81}$. Произведение двух отрицательных чисел дает положительное число, значит, числитель положителен.

Определим знак знаменателя. Выражение $-8^2$ равно $-(8^2)$, то есть $-64$. Это отрицательное число.

Вся дробь представляет собой частное от деления положительного числителя на отрицательный знаменатель. Результат такого деления всегда отрицателен.

Вычислим значение выражения:

$\frac{(-3)^3 \cdot (-9^{-2})}{-8^2} = \frac{(-27) \cdot (-\frac{1}{81})}{-64} = \frac{\frac{27}{81}}{-64} = \frac{\frac{1}{3}}{-64} = -\frac{1}{3 \cdot 64} = -\frac{1}{192}$.

Полученное число является отрицательным.

Ответ: значение выражения отрицательно, так как представляет собой частное от деления положительного числителя $(\frac{1}{3})$ на отрицательный знаменатель $(-64)$.