Номер 9.8, страница 76 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.8. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

1) $ ( (n^3)^2 )^4 : (n^7)^2 - 5 - n^{10} $;

2) $ m^{30} : ((m^3)^2)^3 + 17 - (m^6)^2 $;

3) $ ( (a^2)^2 )^2 \cdot a^4 + 19 - (a^4)^3 $;

4) $ -23 - b^{40} + (((b^5)^4)^2 $.

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, необходимо его упростить. Для этого применим свойства степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются $(a^m)^n = a^{mn}$, а при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Выполним преобразования по шагам:
$((n^3)^2)^4 : (n^7)^2 - 5 - n^{10} = (n^{3 \cdot 2})^4 : n^{7 \cdot 2} - 5 - n^{10} = (n^6)^4 : n^{14} - 5 - n^{10} = n^{6 \cdot 4} : n^{14} - 5 - n^{10} = n^{24} : n^{14} - 5 - n^{10}$.
Теперь выполним деление:
$n^{24-14} - 5 - n^{10} = n^{10} - 5 - n^{10}$.
Сократим подобные члены:
$(n^{10} - n^{10}) - 5 = 0 - 5 = -5$.
В результате мы получили число -5, которое не зависит от значения переменной $n$.
Ответ: -5.

2) Упростим данное выражение, используя те же свойства степеней: $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Преобразуем выражение:
$m^{30} : ((m^3)^2)^3 + 17 - (m^6)^2 = m^{30} : (m^{3 \cdot 2})^3 + 17 - m^{6 \cdot 2} = m^{30} : (m^6)^3 + 17 - m^{12} = m^{30} : m^{6 \cdot 3} + 17 - m^{12} = m^{30} : m^{18} + 17 - m^{12}$.
Выполним деление:
$m^{30-18} + 17 - m^{12} = m^{12} + 17 - m^{12}$.
Сократим подобные члены:
$(m^{12} - m^{12}) + 17 = 0 + 17 = 17$.
Результат вычислений — число 17, которое не зависит от значения переменной $m$.
Ответ: 17.

3) Для упрощения этого выражения будем использовать свойства степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются $(a^m)^n = a^{mn}$, а при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Преобразуем выражение:
$((a^2)^2)^2 \cdot a^4 + 19 - (a^4)^3 = (a^{2 \cdot 2})^2 \cdot a^4 + 19 - a^{4 \cdot 3} = (a^4)^2 \cdot a^4 + 19 - a^{12} = a^{4 \cdot 2} \cdot a^4 + 19 - a^{12} = a^8 \cdot a^4 + 19 - a^{12}$.
Теперь выполним умножение:
$a^{8+4} + 19 - a^{12} = a^{12} + 19 - a^{12}$.
Сократим подобные члены:
$(a^{12} - a^{12}) + 19 = 0 + 19 = 19$.
Значение выражения равно 19 и не зависит от переменной $a$.
Ответ: 19.

4) Упростим выражение, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$.
Выполним преобразования:
$-23 - b^{40} + ((b^5)^4)^2 = -23 - b^{40} + (b^{5 \cdot 4})^2 = -23 - b^{40} + (b^{20})^2 = -23 - b^{40} + b^{20 \cdot 2} = -23 - b^{40} + b^{40}$.
Сократим подобные члены:
$-23 + (-b^{40} + b^{40}) = -23 + 0 = -23$.
Полученное значение -23 является константой и не зависит от переменной $b$.
Ответ: -23.