Номер 9.12, страница 76 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.12. Вместо звездочки запишите число, чтобы было верным равенство:

1) $2^5 \cdot 2^{-2} \cdot * = 2^7;$

2) $4^5 \cdot 8^{-2} \cdot * = 4^7;$

3) $5^5 \cdot 5^{-2} : * = 5^7.$

1) В равенстве $2^5 \cdot 2^{-2} \cdot * = 2^7$ необходимо найти число, которое нужно подставить вместо звездочки. Обозначим это число через $x$.

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для левой части:

$2^5 \cdot 2^{-2} = 2^{5+(-2)} = 2^3$.

Уравнение принимает вид: $2^3 \cdot x = 2^7$.

Чтобы найти $x$, разделим правую часть на известное в левой части: $x = \frac{2^7}{2^3}$.

По свойству деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:

$x = 2^{7-3} = 2^4$.

Проверка: $2^5 \cdot 2^{-2} \cdot 2^4 = 2^{5-2+4} = 2^{7}$. Равенство верно.

Ответ: $2^4$

2) В равенстве $4^5 \cdot 8^{-2} \cdot * = 4^7$ найдем неизвестный множитель. Обозначим его через $x$.

Основания степеней 4 и 8 различны. Приведем их к общему основанию 2, так как $4=2^2$ и $8=2^3$.

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}$

$8^{-2} = (2^3)^{-2} = 2^{-6}$

$4^7 = (2^2)^7 = 2^{14}$

Подставим полученные выражения в исходное равенство:

$2^{10} \cdot 2^{-6} \cdot x = 2^{14}$.

Упростим левую часть: $2^{10+(-6)} \cdot x = 2^{14}$, что дает $2^4 \cdot x = 2^{14}$.

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{2^{14}}{2^4} = 2^{14-4} = 2^{10}$.

Проверка: $4^5 \cdot 8^{-2} \cdot 2^{10} = (2^2)^5 \cdot (2^3)^{-2} \cdot 2^{10} = 2^{10} \cdot 2^{-6} \cdot 2^{10} = 2^{10-6+10} = 2^{14}$. Правая часть $4^7 = (2^2)^7 = 2^{14}$. Равенство верно.

Ответ: $2^{10}$

3) В равенстве $5^5 \cdot 5^{-2} : * = 5^7$ необходимо найти делитель. Обозначим его через $x$.

Равенство можно записать в виде дроби: $\frac{5^5 \cdot 5^{-2}}{x} = 5^7$.

Упростим числитель дроби, используя свойство умножения степеней: $5^5 \cdot 5^{-2} = 5^{5+(-2)} = 5^3$.

Получаем уравнение: $\frac{5^3}{x} = 5^7$.

Чтобы найти делитель $x$, нужно делимое ($5^3$) разделить на частное ($5^7$):

$x = \frac{5^3}{5^7}$.

По свойству деления степеней, $x = 5^{3-7} = 5^{-4}$.

Проверка: $5^5 \cdot 5^{-2} : 5^{-4} = 5^{3} : 5^{-4} = 5^{3-(-4)} = 5^{3+4} = 5^7$. Равенство верно.

Ответ: $5^{-4}$