Номер 8.20, страница 70 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.20. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной $x$:

1) $2 \cdot \frac{x^4}{x^4} + x^0$;

2) $\frac{x^5}{x^4} - x + 3.$

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $x$, необходимо его упростить. Исходное выражение: $2 \cdot \frac{x^4}{x^4} + x^0$.
Данное выражение определено при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $x^4 \neq 0$, что равносильно $x \neq 0$. Для этого же условия определено и выражение $x^0$.
Применим свойства степеней для $x \neq 0$:
1. Частное $\frac{x^4}{x^4}$ равно 1, так как числитель и знаменатель равны и не равны нулю.
2. Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице: $x^0 = 1$.
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$2 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 = 3$.
В результате упрощения мы получили число 3, которое является константой и не зависит от значения переменной $x$.
Ответ: 3.

2) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $x$, необходимо его упростить. Исходное выражение: $\frac{x^5}{x^4} - x + 3$.
Данное выражение определено при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $x^4 \neq 0$, что равносильно $x \neq 0$.
Упростим дробь, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{x^5}{x^4} = x^{5-4} = x^1 = x$.
Теперь подставим упрощенное выражение обратно в исходное:
$x - x + 3$.
Выполним вычитание:
$0 + 3 = 3$.
В результате упрощения мы получили число 3, которое является константой и не зависит от значения переменной $x$.
Ответ: 3.