Номер 8.19, страница 70 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.19. Вычислите:

1) $183^0 \cdot 5^3 : 3^2 + \frac{2}{9};$

2) $100^2 \cdot 5^2 : 2^3;$

3) $\frac{155^0 \cdot 3^2 \cdot 4^2}{8 \cdot 3^3}.$

1) Решим выражение $183^0 \cdot 5^3 : 3^2 + \frac{2}{9}$ по действиям, соблюдая порядок операций.

Сначала вычислим значения степеней:
$183^0 = 1$ (любое ненулевое число в степени 0 равно 1).
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.

Подставим эти значения в выражение:
$1 \cdot 125 : 9 + \frac{2}{9}$.

Теперь выполним умножение и деление слева направо:
$1 \cdot 125 = 125$.
Получаем: $125 : 9 + \frac{2}{9}$.
Представим деление в виде дроби: $\frac{125}{9}$.

И, наконец, выполним сложение дробей с одинаковым знаменателем:
$\frac{125}{9} + \frac{2}{9} = \frac{125+2}{9} = \frac{127}{9}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $127 \div 9 = 14$ с остатком 1, поэтому $\frac{127}{9} = 14\frac{1}{9}$.
Ответ: $14\frac{1}{9}$.

2) Рассмотрим выражение $100^2 \cdot 5^2 : 2^3$.

Для упрощения вычислений воспользуемся свойствами степеней. Представим число 100 в виде произведения простых множителей: $100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$.

Подставим это в исходное выражение:
$(2^2 \cdot 5^2)^2 \cdot 5^2 : 2^3$.

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(2^{2\cdot2} \cdot 5^{2\cdot2}) \cdot 5^2 : 2^3 = 2^4 \cdot 5^4 \cdot 5^2 : 2^3$.

Теперь используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и деления $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$2^4 \cdot 5^{4+2} : 2^3 = 2^4 \cdot 5^6 : 2^3 = 2^{4-3} \cdot 5^6 = 2^1 \cdot 5^6$.

Осталось вычислить результат:
$2 \cdot 5^6 = 2 \cdot (5^3 \cdot 5^3) = 2 \cdot (125 \cdot 125) = 2 \cdot 15625 = 31250$.
Ответ: $31250$.

3) Решим выражение $\frac{155^0 \cdot 3^2 \cdot 4^2}{8 \cdot 3^3}$.

Сначала упростим числитель и знаменатель дроби, используя свойства степеней.
В числителе: $155^0 = 1$ и $4^2 = (2^2)^2 = 2^4$.
В знаменателе: $8 = 2^3$.

Перепишем дробь с учетом этих преобразований:
$\frac{1 \cdot 3^2 \cdot 2^4}{2^3 \cdot 3^3} = \frac{3^2 \cdot 2^4}{3^3 \cdot 2^3}$.

Теперь сократим дробь, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{2^4}{2^3} \cdot \frac{3^2}{3^3} = 2^{4-3} \cdot 3^{2-3} = 2^1 \cdot 3^{-1}$.

Так как $3^{-1} = \frac{1}{3}$, получаем:
$2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.