Номер 8.18, страница 70 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.18. Запишите в стандартном виде значение выражения:

1) $(7,5 \cdot 10^4) \cdot (2,4 \cdot 10^{-1});$

2) $(4,3 \cdot 10^4) \cdot (3,7 \cdot 10^{-3});$

3) $(3,4 \cdot 10^4) \cdot (5,4 \cdot 10^{-2})^2;$

4) $(5,5 \cdot 10^{-3}) \cdot (2,4 \cdot 10^2)^3.$

1) Чтобы найти значение выражения $(7,5 \cdot 10^4) \cdot (2,4 \cdot 10^{-1})$, сгруппируем множители: десятичные дроби с десятичными дробями, а степени с основанием 10 со степенями.
$(7,5 \cdot 2,4) \cdot (10^4 \cdot 10^{-1})$
Вычислим произведение десятичных дробей:
$7,5 \cdot 2,4 = 18$
Вычислим произведение степеней, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$10^4 \cdot 10^{-1} = 10^{4+(-1)} = 10^3$
Результат равен $18 \cdot 10^3$.
Стандартный вид числа требует, чтобы мантисса (первый множитель) была в пределах от 1 (включительно) до 10 (не включительно). Преобразуем 18 в стандартный вид: $18 = 1,8 \cdot 10^1$.
Подставим это значение в выражение:
$(1,8 \cdot 10^1) \cdot 10^3 = 1,8 \cdot 10^{1+3} = 1,8 \cdot 10^4$.
Ответ: $1,8 \cdot 10^4$.

2) Для выражения $(4,3 \cdot 10^4) \cdot (3,7 \cdot 10^{-3})$ применим тот же подход.
Сгруппируем множители:
$(4,3 \cdot 3,7) \cdot (10^4 \cdot 10^{-3})$
Вычислим произведение десятичных дробей:
$4,3 \cdot 3,7 = 15,91$
Вычислим произведение степеней:
$10^4 \cdot 10^{-3} = 10^{4-3} = 10^1$
Получаем $15,91 \cdot 10^1$.
Приведем число к стандартному виду. Мантисса 15,91 больше 10, поэтому преобразуем ее: $15,91 = 1,591 \cdot 10^1$.
Подставим в выражение:
$(1,591 \cdot 10^1) \cdot 10^1 = 1,591 \cdot 10^{1+1} = 1,591 \cdot 10^2$.
Ответ: $1,591 \cdot 10^2$.

3) В выражении $(3,4 \cdot 10^4) \cdot (5,4 \cdot 10^{-2})^2$ сначала возведем второй множитель в квадрат.
Используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$:
$(5,4 \cdot 10^{-2})^2 = (5,4)^2 \cdot (10^{-2})^2$
Вычислим $(5,4)^2$:
$5,4^2 = 29,16$
Вычислим $(10^{-2})^2$ используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(10^{-2})^2 = 10^{-2 \cdot 2} = 10^{-4}$
Таким образом, $(5,4 \cdot 10^{-2})^2 = 29,16 \cdot 10^{-4}$.
Теперь перемножим результат с первым множителем:
$(3,4 \cdot 10^4) \cdot (29,16 \cdot 10^{-4}) = (3,4 \cdot 29,16) \cdot (10^4 \cdot 10^{-4})$
Вычислим произведение десятичных дробей:
$3,4 \cdot 29,16 = 99,144$
Вычислим произведение степеней:
$10^4 \cdot 10^{-4} = 10^{4-4} = 10^0 = 1$
Результат умножения: $99,144 \cdot 1 = 99,144$.
Приведем к стандартному виду: $99,144 = 9,9144 \cdot 10^1$.
Ответ: $9,9144 \cdot 10^1$.

4) В выражении $(5,5 \cdot 10^{-3}) \cdot (2,4 \cdot 10^2)^3$ сначала возведем второй множитель в куб.
$(2,4 \cdot 10^2)^3 = (2,4)^3 \cdot (10^2)^3$
Вычислим $(2,4)^3$:
$2,4^3 = 2,4 \cdot 2,4 \cdot 2,4 = 5,76 \cdot 2,4 = 13,824$
Вычислим $(10^2)^3$:
$(10^2)^3 = 10^{2 \cdot 3} = 10^6$
Таким образом, $(2,4 \cdot 10^2)^3 = 13,824 \cdot 10^6$.
Теперь выполним умножение:
$(5,5 \cdot 10^{-3}) \cdot (13,824 \cdot 10^6) = (5,5 \cdot 13,824) \cdot (10^{-3} \cdot 10^6)$
Вычислим произведение десятичных дробей:
$5,5 \cdot 13,824 = 76,032$
Вычислим произведение степеней:
$10^{-3} \cdot 10^6 = 10^{-3+6} = 10^3$
Результат умножения: $76,032 \cdot 10^3$.
Приведем к стандартному виду. $76,032 = 7,6032 \cdot 10^1$.
$(7,6032 \cdot 10^1) \cdot 10^3 = 7,6032 \cdot 10^{1+3} = 7,6032 \cdot 10^4$.
Ответ: $7,6032 \cdot 10^4$.