Номер 8.12, страница 69 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.12. Найдите относительную погрешность приближенного значения x, записанного в виде $x = a \cdot 10^n$:

1) $x \approx 34,58 \cdot 10^8;$

2) $x \approx 5,93 \cdot 10^7;$

3) $x \approx 2,75 \cdot 10^{-5};$

4) $x \approx 11,55 \cdot 10^0;$

5) $x \approx 25,18 \cdot 10^{-9};$

6) $x \approx 0,086 \cdot 10^{-8}.$

Относительная погрешность $\epsilon_x$ приближенного значения $x$, записанного в виде $x \approx a \cdot 10^n$, равна относительной погрешности его мантиссы $a$. Это следует из формулы относительной погрешности:

$\epsilon_x = \frac{\Delta x}{|x|} = \frac{\Delta a \cdot 10^n}{|a \cdot 10^n|} = \frac{\Delta a}{|a|} = \epsilon_a$

Здесь $\Delta a$ — абсолютная погрешность мантиссы, которая, как правило, принимается равной половине единицы последнего значащего разряда числа $a$.

1) Для приближенного значения $x \approx 34,58 \cdot 10^8$ мантисса $a = 34,58$. Последний значащий разряд — сотые, поэтому абсолютная погрешность мантиссы $\Delta a = 0,01 / 2 = 0,005$.
Находим относительную погрешность:
$\epsilon_x = \frac{\Delta a}{|a|} = \frac{0,005}{34,58} = \frac{5}{34580} = \frac{1}{6916}$.
В процентах это составляет примерно $0,014\%$.
Ответ: $\epsilon_x = \frac{1}{6916} \approx 0,014\%$.

2) Для $x \approx 5,93 \cdot 10^7$, мантисса $a = 5,93$. Последний значащий разряд — сотые, $\Delta a = 0,01 / 2 = 0,005$.
Относительная погрешность:
$\epsilon_x = \frac{\Delta a}{|a|} = \frac{0,005}{5,93} = \frac{5}{5930} = \frac{1}{1186}$.
В процентах это составляет примерно $0,084\%$.
Ответ: $\epsilon_x = \frac{1}{1186} \approx 0,084\%$.

3) Для $x \approx 2,75 \cdot 10^{-5}$, мантисса $a = 2,75$. Последний значащий разряд — сотые, $\Delta a = 0,01 / 2 = 0,005$.
Относительная погрешность:
$\epsilon_x = \frac{\Delta a}{|a|} = \frac{0,005}{2,75} = \frac{5}{2750} = \frac{1}{550}$.
В процентах это составляет примерно $0,18\%$.
Ответ: $\epsilon_x = \frac{1}{550} \approx 0,18\%$.

4) Для $x \approx 11,55 \cdot 10^0$, мантисса $a = 11,55$. Последний значащий разряд — сотые, $\Delta a = 0,01 / 2 = 0,005$.
Относительная погрешность:
$\epsilon_x = \frac{\Delta a}{|a|} = \frac{0,005}{11,55} = \frac{5}{11550} = \frac{1}{2310}$.
В процентах это составляет примерно $0,043\%$.
Ответ: $\epsilon_x = \frac{1}{2310} \approx 0,043\%$.

5) Для $x \approx 25,18 \cdot 10^{-9}$, мантисса $a = 25,18$. Последний значащий разряд — сотые, $\Delta a = 0,01 / 2 = 0,005$.
Относительная погрешность:
$\epsilon_x = \frac{\Delta a}{|a|} = \frac{0,005}{25,18} = \frac{5}{25180} = \frac{1}{5036}$.
В процентах это составляет примерно $0,020\%$.
Ответ: $\epsilon_x = \frac{1}{5036} \approx 0,020\%$.

6) Для $x \approx 0,086 \cdot 10^{-8}$, мантисса $a = 0,086$. Последний значащий разряд — тысячные, поэтому $\Delta a = 0,001 / 2 = 0,0005$.
Относительная погрешность:
$\epsilon_x = \frac{\Delta a}{|a|} = \frac{0,0005}{0,086} = \frac{0,5}{86} = \frac{5}{860} = \frac{1}{172}$.
В процентах это составляет примерно $0,58\%$.
Ответ: $\epsilon_x = \frac{1}{172} \approx 0,58\%$.