Страница 69 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.11. Найдите относительную погрешность, округлив до десятых число:

1) $0,879$;

2) $20,456$;

3) $133,507$;

4) $0,058$;

5) $0,987$;

6) $10,509$.

Относительная погрешность — это отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения. Для каждого числа мы сначала найдем его приближенное значение, округлив до десятых, затем вычислим абсолютную и относительную погрешности.

1) 0,879;

Точное значение $x = 0,879$.

Округляем число до десятых, получаем приближенное значение $a = 0,9$.

Абсолютная погрешность: $Δ = |x - a| = |0,879 - 0,9| = |-0,021| = 0,021$.

Относительная погрешность: $δ = \frac{Δ}{|x|} = \frac{0,021}{|0,879|} = \frac{0,021}{0,879} ≈ 0,02389...$

Выразим относительную погрешность в процентах, округлив до сотых: $δ ≈ 0,02389 \cdot 100\% ≈ 2,39\%$.

Ответ: $≈ 2,39\%$.

2) 20,456;

Точное значение $x = 20,456$.

Округляем число до десятых, получаем приближенное значение $a = 20,5$.

Абсолютная погрешность: $Δ = |x - a| = |20,456 - 20,5| = |-0,044| = 0,044$.

Относительная погрешность: $δ = \frac{Δ}{|x|} = \frac{0,044}{|20,456|} = \frac{0,044}{20,456} ≈ 0,00215...$

Выразим относительную погрешность в процентах, округлив до сотых: $δ ≈ 0,00215 \cdot 100\% ≈ 0,22\%$.

Ответ: $≈ 0,22\%$.

3) 133,507;

Точное значение $x = 133,507$.

Округляем число до десятых, получаем приближенное значение $a = 133,5$.

Абсолютная погрешность: $Δ = |x - a| = |133,507 - 133,5| = |0,007| = 0,007$.

Относительная погрешность: $δ = \frac{Δ}{|x|} = \frac{0,007}{|133,507|} = \frac{0,007}{133,507} ≈ 0,0000524...$

Выразим относительную погрешность в процентах, округлив до сотых: $δ ≈ 0,0000524 \cdot 100\% ≈ 0,01\%$.

Ответ: $≈ 0,01\%$.

4) 0,058;

Точное значение $x = 0,058$.

Округляем число до десятых, получаем приближенное значение $a = 0,1$.

Абсолютная погрешность: $Δ = |x - a| = |0,058 - 0,1| = |-0,042| = 0,042$.

Относительная погрешность: $δ = \frac{Δ}{|x|} = \frac{0,042}{|0,058|} = \frac{0,042}{0,058} ≈ 0,72413...$

Выразим относительную погрешность в процентах, округлив до сотых: $δ ≈ 0,72413 \cdot 100\% ≈ 72,41\%$.

Ответ: $≈ 72,41\%$.

5) 0,987;

Точное значение $x = 0,987$.

Округляем число до десятых, получаем приближенное значение $a = 1,0$.

Абсолютная погрешность: $Δ = |x - a| = |0,987 - 1,0| = |-0,013| = 0,013$.

Относительная погрешность: $δ = \frac{Δ}{|x|} = \frac{0,013}{|0,987|} = \frac{0,013}{0,987} ≈ 0,01317...$

Выразим относительную погрешность в процентах, округлив до сотых: $δ ≈ 0,01317 \cdot 100\% ≈ 1,32\%$.

Ответ: $≈ 1,32\%$.

6) 10,509.

Точное значение $x = 10,509$.

Округляем число до десятых, получаем приближенное значение $a = 10,5$.

Абсолютная погрешность: $Δ = |x - a| = |10,509 - 10,5| = |0,009| = 0,009$.

Относительная погрешность: $δ = \frac{Δ}{|x|} = \frac{0,009}{|10,509|} = \frac{0,009}{10,509} ≈ 0,000856...$

Выразим относительную погрешность в процентах, округлив до сотых: $δ ≈ 0,000856 \cdot 100\% ≈ 0,09\%$.

Ответ: $≈ 0,09\%$.

8.12. Найдите относительную погрешность приближенного значения x, записанного в виде $x = a \cdot 10^n$:

1) $x \approx 34,58 \cdot 10^8;$

2) $x \approx 5,93 \cdot 10^7;$

3) $x \approx 2,75 \cdot 10^{-5};$

4) $x \approx 11,55 \cdot 10^0;$

5) $x \approx 25,18 \cdot 10^{-9};$

6) $x \approx 0,086 \cdot 10^{-8}.$

Относительная погрешность $\epsilon_x$ приближенного значения $x$, записанного в виде $x \approx a \cdot 10^n$, равна относительной погрешности его мантиссы $a$. Это следует из формулы относительной погрешности:

$\epsilon_x = \frac{\Delta x}{|x|} = \frac{\Delta a \cdot 10^n}{|a \cdot 10^n|} = \frac{\Delta a}{|a|} = \epsilon_a$

Здесь $\Delta a$ — абсолютная погрешность мантиссы, которая, как правило, принимается равной половине единицы последнего значащего разряда числа $a$.

1) Для приближенного значения $x \approx 34,58 \cdot 10^8$ мантисса $a = 34,58$. Последний значащий разряд — сотые, поэтому абсолютная погрешность мантиссы $\Delta a = 0,01 / 2 = 0,005$.
Находим относительную погрешность:
$\epsilon_x = \frac{\Delta a}{|a|} = \frac{0,005}{34,58} = \frac{5}{34580} = \frac{1}{6916}$.
В процентах это составляет примерно $0,014\%$.
Ответ: $\epsilon_x = \frac{1}{6916} \approx 0,014\%$.

2) Для $x \approx 5,93 \cdot 10^7$, мантисса $a = 5,93$. Последний значащий разряд — сотые, $\Delta a = 0,01 / 2 = 0,005$.
Относительная погрешность:
$\epsilon_x = \frac{\Delta a}{|a|} = \frac{0,005}{5,93} = \frac{5}{5930} = \frac{1}{1186}$.
В процентах это составляет примерно $0,084\%$.
Ответ: $\epsilon_x = \frac{1}{1186} \approx 0,084\%$.

3) Для $x \approx 2,75 \cdot 10^{-5}$, мантисса $a = 2,75$. Последний значащий разряд — сотые, $\Delta a = 0,01 / 2 = 0,005$.
Относительная погрешность:
$\epsilon_x = \frac{\Delta a}{|a|} = \frac{0,005}{2,75} = \frac{5}{2750} = \frac{1}{550}$.
В процентах это составляет примерно $0,18\%$.
Ответ: $\epsilon_x = \frac{1}{550} \approx 0,18\%$.

4) Для $x \approx 11,55 \cdot 10^0$, мантисса $a = 11,55$. Последний значащий разряд — сотые, $\Delta a = 0,01 / 2 = 0,005$.
Относительная погрешность:
$\epsilon_x = \frac{\Delta a}{|a|} = \frac{0,005}{11,55} = \frac{5}{11550} = \frac{1}{2310}$.
В процентах это составляет примерно $0,043\%$.
Ответ: $\epsilon_x = \frac{1}{2310} \approx 0,043\%$.

5) Для $x \approx 25,18 \cdot 10^{-9}$, мантисса $a = 25,18$. Последний значащий разряд — сотые, $\Delta a = 0,01 / 2 = 0,005$.
Относительная погрешность:
$\epsilon_x = \frac{\Delta a}{|a|} = \frac{0,005}{25,18} = \frac{5}{25180} = \frac{1}{5036}$.
В процентах это составляет примерно $0,020\%$.
Ответ: $\epsilon_x = \frac{1}{5036} \approx 0,020\%$.

6) Для $x \approx 0,086 \cdot 10^{-8}$, мантисса $a = 0,086$. Последний значащий разряд — тысячные, поэтому $\Delta a = 0,001 / 2 = 0,0005$.
Относительная погрешность:
$\epsilon_x = \frac{\Delta a}{|a|} = \frac{0,0005}{0,086} = \frac{0,5}{86} = \frac{5}{860} = \frac{1}{172}$.
В процентах это составляет примерно $0,58\%$.
Ответ: $\epsilon_x = \frac{1}{172} \approx 0,58\%$.

8.13. Масса электрона равна $0,91 \cdot 10^{-27}$ кг. Укажите относительную погрешность приближенного значения $0,91 \cdot 10^{-27}$.

Относительная погрешность $\delta$ вычисляется по формуле $\delta = \frac{\Delta x}{|x|}$, где $\Delta x$ — абсолютная погрешность, а $x$ — приближенное значение величины.

Приближенное значение массы электрона дано как $m_a = 0,91 \cdot 10^{-27}$ кг. Поскольку точное значение не указано, абсолютная погрешность определяется по записи приближенного значения. Считается, что абсолютная погрешность не превышает половины единицы последнего значащего разряда.

Для мантиссы $0,91$ последний значащий разряд — сотые ($0,01$). Таким образом, абсолютная погрешность для мантиссы составляет:

$\Delta(0,91) = \frac{1}{2} \cdot 0,01 = 0,005$.

Соответственно, абсолютная погрешность для всего значения массы будет:

$\Delta m_a = 0,005 \cdot 10^{-27}$ кг.

Теперь можно вычислить относительную погрешность:

$\delta = \frac{\Delta m_a}{|m_a|} = \frac{0,005 \cdot 10^{-27} \text{ кг}}{|0,91 \cdot 10^{-27} \text{ кг}|} = \frac{0,005}{0,91}$.

Упростим полученное выражение:

$\delta = \frac{0,005}{0,91} = \frac{5}{910} = \frac{1}{182}$.

Это точное значение относительной погрешности. Для наглядности можно перевести его в десятичную дробь или проценты:

$\delta = \frac{1}{182} \approx 0,0054945... \approx 0,0055$.

В процентах это составит: $0,0055 \cdot 100\% = 0,55\%$.

Ответ: $\frac{1}{182}$ (приблизительно $0,55\%$).

8.14. Запишите в стандартном виде числа, которые встречаются в предложении:

1) Масса океанов равна 1 450 000 000 000 000 кг. Масса Земли равна 5 980 000 000 000 000 000 000 кг. Представьте записанные массы в стандартном виде, в тоннах.

2) Расстояние от Солнца до Земли равно 149 500 000 км. Площадь поверхности Солнца 6 000 000 000 000 $\text{км}^2$. Площадь поверхности Земли 510 200 000 $\text{км}^2$. Площадь поверхности Луны 38 000 000 $\text{км}^2$. Представьте записанные площади в стандартном виде, в гектарах.

1) Запишем массы в стандартном виде ($a \times 10^n$, где $1 \le a < 10$) и переведем их в тонны.

Масса океанов: $1\,450\,000\,000\,000\,000\,000 \text{ кг}$. Чтобы получить число $a$ в диапазоне от 1 до 10, нужно переместить запятую на 18 разрядов влево. Таким образом, $a = 1.45$ и $n = 18$.
$1\,450\,000\,000\,000\,000\,000 \text{ кг} = 1.45 \times 10^{18} \text{ кг}$.
Переведем в тонны, зная, что $1 \text{ тонна} = 1000 \text{ кг} = 10^3 \text{ кг}$:
$1.45 \times 10^{18} \text{ кг} = (1.45 \times 10^{18}) \div 10^3 \text{ т} = 1.45 \times 10^{15} \text{ т}$.

Масса Земли: $5\,980\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000 \text{ кг}$. Перемещаем запятую на 24 разряда влево.
$5\,980\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000 \text{ кг} = 5.98 \times 10^{24} \text{ кг}$.
Переведем в тонны:
$5.98 \times 10^{24} \text{ кг} = (5.98 \times 10^{24}) \div 10^3 \text{ т} = 5.98 \times 10^{21} \text{ т}$.

Ответ: масса океанов $1.45 \times 10^{15}$ т; масса Земли $5.98 \times 10^{21}$ т.

2) Запишем все числа из предложения в стандартном виде. Площади дополнительно представим в гектарах.

Расстояние от Солнца до Земли: $149\,500\,000 \text{ км}$. Перемещаем запятую на 8 разрядов влево.
$149\,500\,000 \text{ км} = 1.495 \times 10^8 \text{ км}$.

Площадь поверхности Солнца: $6\,000\,000\,000\,000 \text{ км}^2$. Перемещаем запятую на 12 разрядов влево.
$6\,000\,000\,000\,000 \text{ км}^2 = 6 \times 10^{12} \text{ км}^2$.
Переведем в гектары, зная, что $1 \text{ км}^2 = 100 \text{ га} = 10^2 \text{ га}$:
$6 \times 10^{12} \text{ км}^2 = 6 \times 10^{12} \times 10^2 \text{ га} = 6 \times 10^{14} \text{ га}$.

Площадь поверхности Земли: $510\,200\,000 \text{ км}^2$. Перемещаем запятую на 8 разрядов влево.
$510\,200\,000 \text{ км}^2 = 5.102 \times 10^8 \text{ км}^2$.
Переведем в гектары:
$5.102 \times 10^8 \text{ км}^2 = 5.102 \times 10^8 \times 10^2 \text{ га} = 5.102 \times 10^{10} \text{ га}$.

Площадь поверхности Луны: $38\,000\,000 \text{ км}^2$. Перемещаем запятую на 7 разрядов влево.
$38\,000\,000 \text{ км}^2 = 3.8 \times 10^7 \text{ км}^2$.
Переведем в гектары:
$3.8 \times 10^7 \text{ км}^2 = 3.8 \times 10^7 \times 10^2 \text{ га} = 3.8 \times 10^9 \text{ га}$.

Ответ: расстояние от Солнца до Земли $1.495 \times 10^8$ км; площадь поверхности Солнца $6 \times 10^{14}$ га; площадь поверхности Земли $5.102 \times 10^{10}$ га; площадь поверхности Луны $3.8 \times 10^9$ га.

8.15. Найдите, во сколько раз длина диаметра Земли больше длины диаметра атомного ядра, если длина диаметра Земли равна $1,2756 \cdot 10^7$ м, длина диаметра атомного ядра равна $5 \cdot 10^{-15}$ м.

Чтобы найти, во сколько раз длина диаметра Земли больше длины диаметра атомного ядра, необходимо разделить длину диаметра Земли на длину диаметра атомного ядра.

Обозначим длину диаметра Земли как $D_З$, а длину диаметра атомного ядра как $D_Я$.

По условию задачи имеем:
$D_З = 1{,}2756 \cdot 10^7$ м
$D_Я = 5 \cdot 10^{-15}$ м

Найдем их отношение, разделив $D_З$ на $D_Я$:

$\frac{D_З}{D_Я} = \frac{1{,}2756 \cdot 10^7}{5 \cdot 10^{-15}}$

Для упрощения вычислений разделим отдельно числовые коэффициенты и степени с основанием 10:

$\frac{1{,}2756}{5} \cdot \frac{10^7}{10^{-15}}$

Сначала вычислим частное числовых коэффициентов:

$1{,}2756 \div 5 = 0{,}25512$

Теперь вычислим частное степеней, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{10^7}{10^{-15}} = 10^{7 - (-15)} = 10^{7 + 15} = 10^{22}$

Теперь перемножим полученные результаты:

$0{,}25512 \cdot 10^{22}$

Для приведения числа к стандартному виду, мантисса (число перед степенью) должна быть в диапазоне от 1 до 10. Преобразуем наш результат:

$0{,}25512 \cdot 10^{22} = (2{,}5512 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{22} = 2{,}5512 \cdot 10^{-1+22} = 2{,}5512 \cdot 10^{21}$

Таким образом, длина диаметра Земли больше длины диаметра атомного ядра в $2{,}5512 \cdot 10^{21}$ раз.

Ответ: в $2{,}5512 \cdot 10^{21}$ раз.

8.16. Выразите:

1) $2,7 \cdot 10^4$ т — в граммах;

2) $8,321 \cdot 10^5$ кг — в тоннах;

3) $1,3 \cdot 10^{-3}$ т — в килограммах;

4) $5,36 \cdot 10^{13}$ г — в миллиграммах;

5) $5,23 \cdot 10^{12}$ дм — в километрах;

6) $4,31 \cdot 10^5$ см — в метрах;

7) $1,32 \cdot 10^5$ км — в метрах;

8) $2,51 \cdot 10^7$ мм — в сантиметрах;

1) Чтобы выразить $2,7 \cdot 10^4$ тонн (т) в граммах (г), необходимо вспомнить соотношения единиц массы. В одной тонне содержится 1000 килограммов (кг), а в одном килограмме — 1000 граммов. Следовательно, 1 тонна равна $1000 \cdot 1000 = 1 \ 000 \ 000$ граммов, что в стандартном виде записывается как $10^6$ г.
Выполним преобразование:
$2,7 \cdot 10^4 \text{ т} = 2,7 \cdot 10^4 \cdot 10^6 \text{ г} = 2,7 \cdot 10^{4+6} \text{ г} = 2,7 \cdot 10^{10} \text{ г}$.
Ответ: $2,7 \cdot 10^{10}$ г.

2) Чтобы выразить $8,321 \cdot 10^5$ килограммов (кг) в тоннах (т), используем соотношение: 1 тонна = 1000 кг, из которого следует, что 1 кг = $0,001$ т = $10^{-3}$ т.
Выполним преобразование:
$8,321 \cdot 10^5 \text{ кг} = 8,321 \cdot 10^5 \cdot 10^{-3} \text{ т} = 8,321 \cdot 10^{5-3} \text{ т} = 8,321 \cdot 10^2 \text{ т}$.
Это значение равно 832,1 т.
Ответ: $8,321 \cdot 10^2$ т.

3) Чтобы выразить $1,3 \cdot 10^{-3}$ тонн (т) в килограммах (кг), воспользуемся соотношением: 1 тонна = 1000 кг = $10^3$ кг.
Выполним преобразование:
$1,3 \cdot 10^{-3} \text{ т} = 1,3 \cdot 10^{-3} \cdot 10^3 \text{ кг} = 1,3 \cdot 10^{-3+3} \text{ кг} = 1,3 \cdot 10^0 \text{ кг} = 1,3 \cdot 1 \text{ кг} = 1,3$ кг.
Ответ: 1,3 кг.

4) Чтобы выразить $5,36 \cdot 10^{13}$ граммов (г) в миллиграммах (мг), необходимо знать, что 1 грамм = 1000 миллиграммов = $10^3$ мг.
Выполним преобразование:
$5,36 \cdot 10^{13} \text{ г} = 5,36 \cdot 10^{13} \cdot 10^3 \text{ мг} = 5,36 \cdot 10^{13+3} \text{ мг} = 5,36 \cdot 10^{16} \text{ мг}$.
Ответ: $5,36 \cdot 10^{16}$ мг.

5) Чтобы выразить $5,23 \cdot 10^{12}$ дециметров (дм) в километрах (км), установим соотношение между этими единицами. В 1 километре 1000 метров, а в 1 метре 10 дециметров. Таким образом, 1 км = $1000 \text{ м} \cdot 10 \text{ дм/м} = 10 \ 000$ дм = $10^4$ дм. Отсюда следует, что 1 дм = $10^{-4}$ км.
Выполним преобразование:
$5,23 \cdot 10^{12} \text{ дм} = 5,23 \cdot 10^{12} \cdot 10^{-4} \text{ км} = 5,23 \cdot 10^{12-4} \text{ км} = 5,23 \cdot 10^8 \text{ км}$.
Ответ: $5,23 \cdot 10^8$ км.

6) Чтобы выразить $4,31 \cdot 10^5$ сантиметров (см) в метрах (м), используем соотношение: 1 метр = 100 сантиметров, откуда 1 см = $0,01$ м = $10^{-2}$ м.
Выполним преобразование:
$4,31 \cdot 10^5 \text{ см} = 4,31 \cdot 10^5 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 4,31 \cdot 10^{5-2} \text{ м} = 4,31 \cdot 10^3 \text{ м}$.
Это значение равно 4310 м.
Ответ: $4,31 \cdot 10^3$ м.

7) Чтобы выразить $1,32 \cdot 10^5$ километров (км) в метрах (м), воспользуемся соотношением: 1 километр = 1000 метров = $10^3$ м.
Выполним преобразование:
$1,32 \cdot 10^5 \text{ км} = 1,32 \cdot 10^5 \cdot 10^3 \text{ м} = 1,32 \cdot 10^{5+3} \text{ м} = 1,32 \cdot 10^8 \text{ м}$.
Ответ: $1,32 \cdot 10^8$ м.

8) Чтобы выразить $2,51 \cdot 10^7$ миллиметров (мм) в сантиметрах (см), используем соотношение: 1 сантиметр = 10 миллиметров, откуда 1 мм = $0,1$ см = $10^{-1}$ см.
Выполним преобразование:
$2,51 \cdot 10^7 \text{ мм} = 2,51 \cdot 10^7 \cdot 10^{-1} \text{ см} = 2,51 \cdot 10^{7-1} \text{ см} = 2,51 \cdot 10^6 \text{ см}$.
Ответ: $2,51 \cdot 10^6$ см.