Страница 67 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8.1. Назовите порядок числа, представленного в стандартном виде:

1) $4,3 \cdot 10^5$;

2) $2,34 \cdot 10^{-3}$;

3) $8,3 \cdot 10^{-13}$;

4) $9,123 \cdot 10^{-1}$;

5) $5,31 \cdot 10^{12}$;

6) $7,1 \cdot 10^{-32}$.

Стандартным видом числа называется его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Число $n$ называется порядком числа. Чтобы определить порядок числа, представленного в стандартном виде, необходимо определить показатель степени числа 10.

1) В числе $4,3 \cdot 10^5$ мантисса $a = 4,3$ удовлетворяет условию $1 \le 4,3 < 10$. Показатель степени (порядок) $n = 5$.
Ответ: 5

2) В числе $2,34 \cdot 10^{-3}$ мантисса $a = 2,34$ удовлетворяет условию $1 \le 2,34 < 10$. Показатель степени (порядок) $n = -3$.
Ответ: -3

3) В числе $8,3 \cdot 10^{-13}$ мантисса $a = 8,3$ удовлетворяет условию $1 \le 8,3 < 10$. Показатель степени (порядок) $n = -13$.
Ответ: -13

4) В числе $9,123 \cdot 10^{-1}$ мантисса $a = 9,123$ удовлетворяет условию $1 \le 9,123 < 10$. Показатель степени (порядок) $n = -1$.
Ответ: -1

5) В числе $5,31 \cdot 10^{12}$ мантисса $a = 5,31$ удовлетворяет условию $1 \le 5,31 < 10$. Показатель степени (порядок) $n = 12$.
Ответ: 12

6) В числе $7,1 \cdot 10^{-32}$ мантисса $a = 7,1$ удовлетворяет условию $1 \le 7,1 < 10$. Показатель степени (порядок) $n = -32$.
Ответ: -32

8.2. Представьте в стандартном виде число:

1) 23 000 000 000;

2) 3 043 000 000;

3) 153 000 000;

4) 0,0 000 012;

5) $600,32 \cdot 10^5$;

6) 0,00 000 203.

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Число $n$ называется порядком числа. Чтобы представить число в стандартном виде, нужно:

1. Переместить запятую в исходном числе так, чтобы она оказалась после первой значащей (не равной нулю) цифры. Полученное число будет являться коэффициентом $a$.

2. Определить порядок $n$. Если исходное число было больше 1, то $n$ будет положительным и равным количеству цифр, на которое сместилась запятая влево. Если исходное число было меньше 1, то $n$ будет отрицательным и равным по модулю количеству цифр, на которое сместилась запятая вправо.

1) 23 000 000 000

Переместим запятую, которая находится в конце числа, так, чтобы она стояла после первой значащей цифры, то есть после цифры 2. Получим число 2,3.Чтобы получить из 2,3 исходное число 23 000 000 000, нужно сместить запятую на 10 знаков вправо. Значит, порядок числа $n=10$.Таким образом, число в стандартном виде: $2,3 \cdot 10^{10}$.Ответ: $2,3 \cdot 10^{10}$.

2) 3 043 000 000

Переместим запятую так, чтобы она стояла после первой значащей цифры 3. Получим число 3,043.Для этого мы сместили запятую на 9 знаков влево. Значит, порядок числа $n=9$.Таким образом, число в стандартном виде: $3,043 \cdot 10^9$.Ответ: $3,043 \cdot 10^9$.

3) 153 000 000

Переместим запятую так, чтобы она стояла после первой значащей цифры 1. Получим число 1,53.Для этого мы сместили запятую на 8 знаков влево. Значит, порядок числа $n=8$.Таким образом, число в стандартном виде: $1,53 \cdot 10^8$.Ответ: $1,53 \cdot 10^8$.

4) 0,0000012

Переместим запятую так, чтобы она стояла после первой значащей цифры 1. Получим число 1,2.Для этого мы сместили запятую на 6 знаков вправо. Так как исходное число меньше 1, порядок будет отрицательным: $n=-6$.Таким образом, число в стандартном виде: $1,2 \cdot 10^{-6}$.Ответ: $1,2 \cdot 10^{-6}$.

5) 600,32 · 10⁵

Сначала представим число 600,32 в стандартном виде. Переместим запятую на 2 знака влево, чтобы она стояла после первой значащей цифры 6. Получим $6,0032 \cdot 10^2$.Теперь подставим это в исходное выражение:$600,32 \cdot 10^5 = (6,0032 \cdot 10^2) \cdot 10^5$.При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:$6,0032 \cdot 10^{2+5} = 6,0032 \cdot 10^7$.Ответ: $6,0032 \cdot 10^7$.

6) 0,00000203

Переместим запятую так, чтобы она стояла после первой значащей цифры 2. Получим число 2,03.Для этого мы сместили запятую на 6 знаков вправо. Так как исходное число меньше 1, порядок будет отрицательным: $n=-6$.Таким образом, число в стандартном виде: $2,03 \cdot 10^{-6}$.Ответ: $2,03 \cdot 10^{-6}$.

8.3. Представьте в виде степени числа 10 число:

1) 1000;

2) 10 000 000;

3) 0,00 001;

4) 0,00 000 001.

1) Чтобы представить число 1000 в виде степени с основанием 10, нужно определить, сколько раз число 10 нужно умножить само на себя, чтобы получить 1000. Это эквивалентно подсчету нулей после единицы. В числе 1000 три нуля, поэтому показатель степени равен 3.
$1000 = 10 \times 10 \times 10 = 10^3$.
Ответ: $10^3$.

2) Для числа 10 000 000 посчитаем количество нулей после единицы. Их семь. Это означает, что 10 000 000 является результатом возведения числа 10 в 7-ю степень.
$10 \, 000 \, 000 = 10^7$.
Ответ: $10^7$.

3) Число 0,00001 является десятичной дробью. Для представления таких чисел в виде степени 10 используется отрицательный показатель. Его абсолютное значение равно количеству знаков после запятой. В числе 0,00001 пять знаков после запятой.
Также можно представить число в виде обыкновенной дроби: $0,00001 = \frac{1}{100 \, 000} = \frac{1}{10^5}$.
Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем $10^{-5}$.
Ответ: $10^{-5}$.

4) В десятичной дроби 0,00000001 восемь цифр после запятой. Следовательно, показатель степени с основанием 10 будет равен -8.
Запишем в виде дроби: $0,00000001 = \frac{1}{100 \, 000 \, 000} = \frac{1}{10^8} = 10^{-8}$.
Ответ: $10^{-8}$.