Страница 60 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.13. Найдите наименьшее целое число, которое удовлетворяет неравенству:

1) $8^{-2x} \ge 24,75 + 4^{-1}$;

2) $6^2 - x \ge -4^2 \cdot x + 5^{-1}$;

3) $3^{-1x} \ge 15^{-1} - 2x$.

1) Решим неравенство $8^{-2}x \ge 24,75 + 4^{-1}$.

Сначала преобразуем все числовые значения в неравенстве. Степень с отрицательным показателем $8^{-2}$ равна $\frac{1}{8^2} = \frac{1}{64}$. Десятичную дробь $24,75$ представим в виде обыкновенной дроби: $24,75 = 24\frac{75}{100} = 24\frac{3}{4} = \frac{24 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{99}{4}$. Степень $4^{-1}$ равна $\frac{1}{4}$.

Теперь подставим полученные значения в исходное неравенство:

$\frac{1}{64}x \ge \frac{99}{4} + \frac{1}{4}$

Сложим дроби в правой части неравенства:

$\frac{1}{64}x \ge \frac{100}{4}$

$\frac{1}{64}x \ge 25$

Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на 64. Так как 64 — положительное число, знак неравенства не изменится.

$x \ge 25 \cdot 64$

$x \ge 1600$

Неравенству удовлетворяют все числа, которые больше или равны 1600. Наименьшее целое число из этого множества — это 1600.

Ответ: 1600.

2) Решим неравенство $6^2 - x \ge -4^2 \cdot x + 5^{-1}$.

Вычислим значения степеней: $6^2 = 36$. Важно отметить, что в выражении $-4^2$ в квадрат возводится только число 4, поэтому $-4^2 = -16$. Степень $5^{-1} = \frac{1}{5}$.

Подставим вычисленные значения в неравенство:

$36 - x \ge -16x + \frac{1}{5}$

Перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а постоянные члены — в правую. При переносе слагаемого через знак неравенства его знак меняется на противоположный.

$-x + 16x \ge \frac{1}{5} - 36$

$15x \ge \frac{1}{5} - \frac{180}{5}$

$15x \ge -\frac{179}{5}$

Разделим обе части неравенства на 15. Так как 15 > 0, знак неравенства сохраняется.

$x \ge -\frac{179}{5 \cdot 15}$

$x \ge -\frac{179}{75}$

Чтобы найти наименьшее целое решение, представим дробь в виде смешанного числа: $-\frac{179}{75} = -2\frac{29}{75}$.

Итак, $x \ge -2\frac{29}{75}$. Наименьшее целое число, которое удовлетворяет этому условию, — это -2.

Ответ: -2.

3) Решим неравенство $3^{-1}x \ge 15^{-1} - 2x$.

Сначала вычислим значения степеней с отрицательным показателем: $3^{-1} = \frac{1}{3}$ и $15^{-1} = \frac{1}{15}$.

Подставим эти значения в неравенство:

$\frac{1}{3}x \ge \frac{1}{15} - 2x$

Перенесем слагаемое $-2x$ из правой части в левую, изменив его знак:

$\frac{1}{3}x + 2x \ge \frac{1}{15}$

Приведем слагаемые в левой части к общему знаменателю:

$\frac{1}{3}x + \frac{6}{3}x \ge \frac{1}{15}$

$\frac{7}{3}x \ge \frac{1}{15}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на $\frac{3}{7}$. Так как это число положительное, знак неравенства не меняется.

$x \ge \frac{1}{15} \cdot \frac{3}{7}$

$x \ge \frac{3}{105}$

Сократим дробь в правой части:

$x \ge \frac{1}{35}$

Мы ищем наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству $x \ge \frac{1}{35}$. Так как $\frac{1}{35}$ является положительным числом, меньшим единицы ($0 < \frac{1}{35} < 1$), наименьшее целое число, которое больше или равно $\frac{1}{35}$, это 1.

Ответ: 1.

7.14. Найдите наибольшее целое число, которое удовлетворяет неравенству:

1) $4^{-2}x \le 12,75 - 4^{-1}$;

2) $12^2 + 3^4x \le 8^2 \cdot x + 6^{-1}$;

3) $4^{-1}x \le 13^0 - 12^{-1} - 3x$.

1) $4^{-2}x \le 12,75 - 4^{-1}$

Сначала преобразуем числовые значения в неравенстве. Используем свойства степеней с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$) и переведем десятичную дробь в обыкновенную:

$4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$

$4^{-1} = \frac{1}{4}$

$12,75 = 12\frac{75}{100} = 12\frac{3}{4} = \frac{51}{4}$

Подставим эти значения обратно в исходное неравенство:

$\frac{1}{16}x \le \frac{51}{4} - \frac{1}{4}$

Выполним вычитание в правой части:

$\frac{1}{16}x \le \frac{50}{4}$

$\frac{1}{16}x \le 12,5$

Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на 16. Так как 16 — положительное число, знак неравенства не изменится.

$x \le 12,5 \cdot 16$

$x \le 200$

Неравенству удовлетворяют все целые числа, которые меньше или равны 200. Наибольшим из них является 200.

Ответ: 200.

2) $12^2 + 3^4x \le 8^2 \cdot x + 6^{-1}$

Вычислим значения степеней в неравенстве:

$12^2 = 144$

$3^4 = 81$

$8^2 = 64$

$6^{-1} = \frac{1}{6}$

Подставим вычисленные значения в неравенство:

$144 + 81x \le 64x + \frac{1}{6}$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а постоянные члены — в правой. При переносе слагаемых из одной части в другую их знак меняется на противоположный.

$81x - 64x \le \frac{1}{6} - 144$

$17x \le \frac{1}{6} - \frac{144 \cdot 6}{6}$

$17x \le \frac{1 - 864}{6}$

$17x \le -\frac{863}{6}$

Разделим обе части неравенства на 17:

$x \le -\frac{863}{6 \cdot 17}$

$x \le -\frac{863}{102}$

Чтобы найти наибольшее целое число, выделим целую часть дроби:

$-\frac{863}{102} = -8\frac{47}{102}$

Получаем неравенство $x \le -8\frac{47}{102}$. Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию, находится слева от $-8\frac{47}{102}$ на числовой оси, то есть это -9.

Ответ: -9.

3) $4^{-1}x \le 13^0 - 12^{-1} - 3x$

Преобразуем степени:

$4^{-1} = \frac{1}{4}$

$13^0 = 1$ (любое ненулевое число в нулевой степени равно 1)

$12^{-1} = \frac{1}{12}$

Подставим эти значения в неравенство:

$\frac{1}{4}x \le 1 - \frac{1}{12} - 3x$

Перенесем слагаемое $-3x$ в левую часть с противоположным знаком:

$\frac{1}{4}x + 3x \le 1 - \frac{1}{12}$

Приведем слагаемые к общему знаменателю в обеих частях неравенства:

$(\frac{1}{4} + \frac{12}{4})x \le \frac{12}{12} - \frac{1}{12}$

$\frac{13}{4}x \le \frac{11}{12}$

Чтобы выразить $x$, умножим обе части на $\frac{4}{13}$. Это положительное число, поэтому знак неравенства сохраняется.

$x \le \frac{11}{12} \cdot \frac{4}{13}$

Сократим дробь на 4:

$x \le \frac{11}{3 \cdot 13}$

$x \le \frac{11}{39}$

Дробь $\frac{11}{39}$ является положительной, но меньше 1. Неравенству $x \le \frac{11}{39}$ удовлетворяют целые числа 0, -1, -2 и так далее. Наибольшим из них является 0.

Ответ: 0.

Докажите тождества (7.15–7.16):

7.15. 1) $(0,25a^{-2})^2 \cdot 4^3a^3 = 2^2a^{-1};$

2) $\frac{2^3 : 4}{14^0 \cdot a^{-2}} \cdot a = \frac{2}{a^{-3}};$

3) $\frac{2^3 : 8}{24^0 \cdot a^{-2}} \cdot a^2 = a^4.$

1)

Чтобы доказать тождество $(0,25a^{-2})^2 \cdot 4^3 a^3 = 2^2 a^{-1}$, преобразуем его левую часть.

Представим десятичную дробь 0,25 и число 4 в виде степеней с основанием 2:

$0,25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$

$4^3 = (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$

Подставим эти значения в левую часть тождества:

$(2^{-2}a^{-2})^2 \cdot 2^6 a^3$

При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень ($(xy)^n = x^n y^n$), а при возведении степени в степень показатели перемножаются ($(x^m)^n = x^{mn}$):

$(2^{-2})^2(a^{-2})^2 \cdot 2^6 a^3 = 2^{-2 \cdot 2} a^{-2 \cdot 2} \cdot 2^6 a^3 = 2^{-4} a^{-4} \cdot 2^6 a^3$

При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):

$(2^{-4} \cdot 2^6) \cdot (a^{-4} \cdot a^3) = 2^{-4+6} a^{-4+3} = 2^2 a^{-1}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $(0,25a^{-2})^2 \cdot 4^3 a^3 = ( (2^{-2})a^{-2} )^2 \cdot (2^2)^3 a^3 = (2^{-4}a^{-4}) \cdot (2^6 a^3) = 2^{-4+6}a^{-4+3} = 2^2 a^{-1}$, тождество верно.

2)

Чтобы доказать тождество $\frac{2^3 : 4}{14^0 \cdot a^{-2}} \cdot a = \frac{2}{a^{-3}}$, преобразуем обе его части.

Преобразуем левую часть. Сначала упростим выражение в числителе и знаменателе дроби.

В числителе: $2^3 : 4 = 8 : 4 = 2$.

В знаменателе: $14^0 \cdot a^{-2}$. Любое число в нулевой степени равно 1 ($x^0=1$), поэтому $14^0 = 1$. Знаменатель равен $1 \cdot a^{-2} = a^{-2}$.

Теперь выражение для левой части выглядит так:

$\frac{2}{a^{-2}} \cdot a$

Используя свойство степени $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, получаем $\frac{1}{a^{-2}} = a^2$.

$2a^2 \cdot a = 2a^{2+1} = 2a^3$.

Теперь преобразуем правую часть тождества:

$\frac{2}{a^{-3}} = 2 \cdot \frac{1}{a^{-3}} = 2 \cdot a^3 = 2a^3$.

Левая и правая части равны $2a^3$. Тождество доказано.

Ответ: Левая часть: $\frac{2^3 : 4}{14^0 \cdot a^{-2}} \cdot a = \frac{8 : 4}{1 \cdot a^{-2}} \cdot a = \frac{2}{a^{-2}} \cdot a = 2a^2 \cdot a = 2a^3$. Правая часть: $\frac{2}{a^{-3}} = 2a^3$. Так как $2a^3 = 2a^3$, тождество верно.

3)

Чтобы доказать тождество $\frac{2^3 : 8}{24^0 \cdot a^{-2}} \cdot a^2 = a^4$, преобразуем его левую часть.

Упростим числитель дроби: $2^3 : 8 = 8 : 8 = 1$.

Упростим знаменатель дроби: $24^0 \cdot a^{-2}$. Так как $24^0 = 1$, знаменатель равен $1 \cdot a^{-2} = a^{-2}$.

Подставим упрощенные выражения обратно в левую часть:

$\frac{1}{a^{-2}} \cdot a^2$

Используя свойство $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$, получаем $\frac{1}{a^{-2}} = a^2$.

$a^2 \cdot a^2 = a^{2+2} = a^4$.

Левая часть тождества равна правой ($a^4$). Тождество доказано.

Ответ: $\frac{2^3 : 8}{24^0 \cdot a^{-2}} \cdot a^2 = \frac{8 : 8}{1 \cdot a^{-2}} \cdot a^2 = \frac{1}{a^{-2}} \cdot a^2 = a^2 \cdot a^2 = a^4$, тождество верно.

7.16.

1) $\left(\frac{8x^{-2}}{y^{-3}}\right)^3 \cdot \left(\frac{2^{-4}}{x^{-2}y^2}\right)^3 = 0,125y^3;$

2) $\frac{3^3 : 27}{17^0 \cdot a^{-2}} \cdot a^3 = \frac{a^2}{a^{-3}};$

3) $\frac{5^3 : 75}{19^0 \cdot b^{-2}} \cdot b = \frac{5}{3b^{-3}}.$

1) $(\frac{8x^{-2}}{y^{-3}})^3 \cdot (\frac{2^{-4}}{x^{-2}y^2})^3 = 0,125y^3$

Докажем, что левая часть тождества равна правой. Для этого упростим выражение в левой части. Так как оба сомножителя возводятся в одну и ту же степень, мы можем сначала перемножить основания, а затем возвести результат в степень, используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$(\frac{8x^{-2}}{y^{-3}} \cdot \frac{2^{-4}}{x^{-2}y^2})^3$

Выполним умножение дробей внутри скобок:

$(\frac{8x^{-2} \cdot 2^{-4}}{y^{-3} \cdot x^{-2}y^2})^3$

Сократим $x^{-2}$ в числителе и знаменателе. В числителе представим $8$ как $2^3$ и применим свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В знаменателе применим то же свойство для переменной $y$:

$(\frac{2^3 \cdot 2^{-4}}{y^{-3}y^2})^3 = (\frac{2^{3-4}}{y^{-3+2}})^3 = (\frac{2^{-1}}{y^{-1}})^3$

Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = 1/a^n$ или $\frac{a^{-m}}{b^{-n}} = \frac{b^n}{a^m}$:

$(\frac{y^1}{2^1})^3 = (\frac{y}{2})^3$

Возведем дробь в куб, используя свойство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:

$\frac{y^3}{2^3} = \frac{y^3}{8}$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную: $1/8 = 0,125$.

$\frac{1}{8}y^3 = 0,125y^3$

Левая часть равна $0,125y^3$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Выражение является верным тождеством.

2) $\frac{3^3 : 27}{17^0 \cdot a^{-2}} \cdot a^3 = \frac{a^2}{a^{-3}}$

Упростим левую и правую части тождества по отдельности, чтобы проверить их равенство.

Левая часть: $\frac{3^3 : 27}{17^0 \cdot a^{-2}} \cdot a^3$

Вычислим значения в числителе и знаменателе дроби:

$3^3 = 27$, поэтому $3^3 : 27 = 27 : 27 = 1$.

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, поэтому $17^0 = 1$.

Подставим эти значения в выражение:

$\frac{1}{1 \cdot a^{-2}} \cdot a^3 = \frac{1}{a^{-2}} \cdot a^3$

Используя свойство $1/a^{-n} = a^n$, получаем:

$a^2 \cdot a^3$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

$a^{2+3} = a^5$

Правая часть: $\frac{a^2}{a^{-3}}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $a^m / a^n = a^{m-n}$

$a^{2 - (-3)} = a^{2+3} = a^5$

Левая часть ($a^5$) равна правой части ($a^5$). Тождество доказано.

Ответ: Выражение является верным тождеством.

3) $\frac{5^3 : 75}{19^0 \cdot b^{-2}} \cdot b = \frac{5}{3b^{-3}}$

Упростим левую и правую части тождества по отдельности для проверки их равенства.

Левая часть: $\frac{5^3 : 75}{19^0 \cdot b^{-2}} \cdot b$

Вычислим значения в числителе и знаменателе дроби:

$5^3 = 125$. Тогда $5^3 : 75 = 125 : 75$. Сократим эту дробь:

$\frac{125}{75} = \frac{5 \cdot 25}{3 \cdot 25} = \frac{5}{3}$

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, поэтому $19^0 = 1$.

Подставим полученные значения в выражение:

$\frac{5/3}{1 \cdot b^{-2}} \cdot b = \frac{5/3}{b^{-2}} \cdot b$

Упростим дробь, используя свойство $1/b^{-n} = b^n$:

$\frac{5}{3} \cdot b^2 \cdot b$

Перемножим степени переменной $b$, используя правило $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$:

$\frac{5}{3} \cdot b^{2+1} = \frac{5}{3}b^3$

Правая часть: $\frac{5}{3b^{-3}}$

Используем свойство $1/b^{-n} = b^n$:

$\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{b^{-3}} = \frac{5}{3} \cdot b^3 = \frac{5b^3}{3}$

Левая часть ($\frac{5b^3}{3}$) равна правой части ($\frac{5b^3}{3}$). Тождество доказано.

Ответ: Выражение является верным тождеством.

7.17. Выполните действия:

1) $15 248 : 10^4$;

2) $0,0174 \cdot 10^2$;

3) $7124 : 10^3$;

4) $0,00 824 \cdot 10^3$.

1) Для выполнения действия $15 248 : 10^4$ необходимо разделить число $15 248$ на $10$ в четвертой степени. Сначала вычислим $10^4$: $10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$. Теперь разделим $15 248$ на $10000$. Деление на число вида $10^n$ эквивалентно переносу запятой влево на $n$ знаков. В целых числах запятая по умолчанию стоит в конце, то есть $15 248 = 15 248,0$. Переносим запятую на 4 знака влево и получаем $1,5248$.
$15 248 : 10^4 = 15 248 : 10000 = 1,5248$.
Ответ: 1,5248

2) Для выполнения действия $0,0174 \cdot 10^2$ необходимо умножить число $0,0174$ на $10$ во второй степени. Сначала вычислим $10^2$: $10^2 = 10 \cdot 10 = 100$. Теперь умножим $0,0174$ на $100$. Умножение на число вида $10^n$ эквивалентно переносу запятой вправо на $n$ знаков. Переносим запятую в числе $0,0174$ на 2 знака вправо и получаем $1,74$.
$0,0174 \cdot 10^2 = 0,0174 \cdot 100 = 1,74$.
Ответ: 1,74

3) Для выполнения действия $7124 : 10^3$ необходимо разделить число $7124$ на $10$ в третьей степени. Сначала вычислим $10^3$: $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$. Теперь разделим $7124$ на $1000$. Переносим запятую, которая находится в конце числа ($7124,0$), на 3 знака влево и получаем $7,124$.
$7124 : 10^3 = 7124 : 1000 = 7,124$.
Ответ: 7,124

4) Для выполнения действия $0,00824 \cdot 10^3$ необходимо умножить число $0,00824$ на $10$ в третьей степени. Сначала вычислим $10^3$: $10^3 = 1000$. Теперь умножим $0,00824$ на $1000$. Переносим запятую в числе $0,00824$ на 3 знака вправо и получаем $8,24$.
$0,00824 \cdot 10^3 = 0,00824 \cdot 1000 = 8,24$.
Ответ: 8,24

7.18. Сравните значения выражений:

1) 7200 : $10^3$ и 7,2;

2) 0,058 $\cdot 10^2$ и 5,8;

3) 193 000 : $10^5$ и 1,93;

4) 0,0002 $\cdot 10^3$ и 2.

1) Чтобы сравнить значения выражений $7200 : 10^3$ и $7,2$, сначала вычислим значение первого выражения. Деление на $10^3$ эквивалентно делению на $1000$.

Выполним вычисление: $7200 : 10^3 = 7200 : 1000 = 7,2$.

Теперь сравним полученный результат с числом $7,2$.

$7,2 = 7,2$.

Следовательно, значения выражений равны.

Ответ: $7200 : 10^3 = 7,2$.

2) Чтобы сравнить значения выражений $0,058 \cdot 10^2$ и $5,8$, вычислим значение первого выражения. Умножение на $10^2$ эквивалентно умножению на $100$.

Выполним вычисление: $0,058 \cdot 10^2 = 0,058 \cdot 100 = 5,8$.

Теперь сравним полученный результат с числом $5,8$.

$5,8 = 5,8$.

Следовательно, значения выражений равны.

Ответ: $0,058 \cdot 10^2 = 5,8$.

3) Чтобы сравнить значения выражений $193 000 : 10^5$ и $1,93$, вычислим значение первого выражения. Деление на $10^5$ эквивалентно делению на $100 000$.

Выполним вычисление: $193 000 : 10^5 = 193 000 : 100 000 = 1,93$.

Теперь сравним полученный результат с числом $1,93$.

$1,93 = 1,93$.

Следовательно, значения выражений равны.

Ответ: $193 000 : 10^5 = 1,93$.

4) Чтобы сравнить значения выражений $0,0002 \cdot 10^3$ и $2$, вычислим значение первого выражения. Умножение на $10^3$ эквивалентно умножению на $1000$.

Выполним вычисление: $0,0002 \cdot 10^3 = 0,0002 \cdot 1000 = 0,2$.

Теперь сравним полученный результат с числом $2$.

$0,2 < 2$.

Следовательно, значение первого выражения меньше второго.

Ответ: $0,0002 \cdot 10^3 < 2$.

7.19. Округлите числа 243,478; 4076,237; 15 023,4083

1) до десятых;

2) до сотых;

3) до десятков;

4) до сотен.

Для решения задачи воспользуемся правилами округления чисел. Чтобы округлить число до определенного разряда, нужно посмотреть на цифру, стоящую справа от этого разряда. Если эта цифра $0, 1, 2, 3$ или $4$, то цифру в округляемом разряде оставляем без изменений, а все следующие за ней цифры заменяем нулями (в целой части) или отбрасываем (в дробной части). Если же справа стоит цифра $5, 6, 7, 8$ или $9$, то цифру в округляемом разряде увеличиваем на единицу, а все следующие за ней цифры также заменяем нулями или отбрасываем.

1) до десятых;

Округляем каждое число до первого знака после запятой.

Для числа $243,478$: вторая цифра после запятой $7$. Так как $7 \ge 5$, то цифру в разряде десятых ($4$) увеличиваем на $1$. Получаем $243,5$.

Для числа $4076,237$: вторая цифра после запятой $3$. Так как $3 < 5$, то цифру в разряде десятых ($2$) оставляем без изменений. Получаем $4076,2$.

Для числа $15 \ 023,4083$: вторая цифра после запятой $0$. Так как $0 < 5$, то цифру в разряде десятых ($4$) оставляем без изменений. Получаем $15 \ 023,4$.

Ответ: $243,5$; $4076,2$; $15 \ 023,4$.

2) до сотых;

Округляем каждое число до второго знака после запятой.

Для числа $243,478$: третья цифра после запятой $8$. Так как $8 \ge 5$, то цифру в разряде сотых ($7$) увеличиваем на $1$. Получаем $243,48$.

Для числа $4076,237$: третья цифра после запятой $7$. Так как $7 \ge 5$, то цифру в разряде сотых ($3$) увеличиваем на $1$. Получаем $4076,24$.

Для числа $15 \ 023,4083$: третья цифра после запятой $8$. Так как $8 \ge 5$, то цифру в разряде сотых ($0$) увеличиваем на $1$. Получаем $15 \ 023,41$.

Ответ: $243,48$; $4076,24$; $15 \ 023,41$.

3) до десятков;

Округляем целую часть каждого числа до разряда десятков.

Для числа $243,478$: цифра в разряде единиц равна $3$. Так как $3 < 5$, то цифру в разряде десятков ($4$) оставляем без изменений, а цифру единиц заменяем на ноль. Дробную часть отбрасываем. Получаем $240$.

Для числа $4076,237$: цифра в разряде единиц равна $6$. Так как $6 \ge 5$, то цифру в разряде десятков ($7$) увеличиваем на $1$. Получаем $4080$.

Для числа $15 \ 023,4083$: цифра в разряде единиц равна $3$. Так как $3 < 5$, то цифру в разряде десятков ($2$) оставляем без изменений, а цифру единиц заменяем на ноль. Получаем $15 \ 020$.

Ответ: $240$; $4080$; $15 \ 020$.

4) до сотен.

Округляем целую часть каждого числа до разряда сотен.

Для числа $243,478$: цифра в разряде десятков равна $4$. Так как $4 < 5$, то цифру в разряде сотен ($2$) оставляем без изменений, а цифры десятков и единиц заменяем нулями. Дробную часть отбрасываем. Получаем $200$.

Для числа $4076,237$: цифра в разряде десятков равна $7$. Так как $7 \ge 5$, то цифру в разряде сотен ($0$) увеличиваем на $1$. Получаем $4100$.

Для числа $15 \ 023,4083$: цифра в разряде десятков равна $2$. Так как $2 < 5$, то цифру в разряде сотен ($0$) оставляем без изменений, а цифры десятков и единиц заменяем нулями. Получаем $15 \ 000$.

Ответ: $200$; $4100$; $15 \ 000$.