Страница 55 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Какими свойствами обладают степени с целым показателем?

1. Почему при использовании свойств степеней с целыми показателями основания степеней не должны равняться нулю?

2. Может ли в результате деления степеней с одинаковыми основаниями получиться 0?

1. Почему при использовании свойств степеней с целыми показателями основания степеней не должны равняться нулю?

Ограничение на основание степени, которое не должно равняться нулю ($a \neq 0$), вводится для того, чтобы свойства степеней с целыми показателями были корректными и применимыми для всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля) в показателе степени.

Рассмотрим различные случаи для показателя степени $n$, где $a$ – основание.

- Если показатель степени – положительное целое число ($n > 0$), то степень с основанием 0 определена: $0^n = 0 \cdot 0 \cdot \dots \cdot 0 = 0$. В этом случае проблемы не возникает.

- Если показатель степени – ноль ($n = 0$), то по определению $a^0 = 1$ для любого $a \neq 0$. Выражение $0^0$ считается неопределенным, так как разные подходы к его вычислению дают разные результаты. Чтобы избежать этой неоднозначности, вводится ограничение $a \neq 0$.

- Если показатель степени – отрицательное целое число ($n < 0$), то по определению $a^n = a^{-k} = \frac{1}{a^k}$ (где $k = -n$ – положительное число). Если бы основание $a$ было равно нулю, мы бы получили выражение $0^n = \frac{1}{0^k} = \frac{1}{0}$. Деление на ноль является недопустимой операцией в математике.

Таким образом, чтобы сохранить универсальность свойств степеней (таких как $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$) для всех целых показателей $m$ и $n$, необходимо исключить случай, который приводит к делению на ноль или неопределенности. Это достигается требованием, чтобы основание степени не было равно нулю.

Ответ:Это требование вводится из-за определения степени с отрицательным целым показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), которое при $a=0$ приводит к делению на ноль, а также из-за неопределенности выражения $0^0$.

2. Может ли в результате деления степеней с одинаковыми основаниями получиться 0?

Нет, в результате деления степеней с одинаковыми основаниями получиться 0 не может. Рассмотрим почему.

Деление степеней с одинаковыми основаниями $a$ записывается как $\frac{a^m}{a^n}$, где $m$ и $n$ – целые показатели. Как мы выяснили в предыдущем вопросе, для корректного применения свойств степеней основание $a$ не должно равняться нулю ($a \neq 0$).

Результатом такого деления является степень с тем же основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Проанализируем выражение $a^{k}$, где $a \neq 0$ и $k = m-n$ – некоторое целое число.

- Если $k > 0$, то $a^k$ – это произведение $k$ ненулевых чисел $a$. Такое произведение никогда не равно нулю.

- Если $k = 0$, то $a^k = a^0 = 1$.

- Если $k < 0$, то $a^k = \frac{1}{a^{-k}}$. Так как $-k > 0$ и $a \neq 0$, то знаменатель $a^{-k} \neq 0$, и вся дробь не может быть равна нулю.

Другими словами, чтобы частное двух чисел было равно нулю, необходимо, чтобы делимое (числитель) было равно нулю, а делитель (знаменатель) – не был равен нулю. В нашем случае делимое – это $a^m$, а делитель – $a^n$. Если бы делимое $a^m$ было равно нулю, это означало бы, что $a=0$ (при $m>0$). Но если $a=0$, то и делитель $a^n$ был бы равен нулю (при $n>0$), что привело бы к неопределенному выражению $\frac{0}{0}$. Если же $n \le 0$, то $a^n$ при $a=0$ не определено. Таким образом, ситуация, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, невозможна.

Ответ:Нет, не может, так как для выполнения операции деления степеней с одинаковыми основаниями требуется, чтобы основание было не равно нулю, а любая целая степень ненулевого числа не может быть равна нулю.