Страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.10. Докажите тождество:

1) $\left(\frac{2}{3}\right)^5 \cdot (2^5)^3 \cdot 3^7 : (2^{10} \cdot 3)^2 = 1;$

2) $(7^2)^8 \cdot (6^3)^4 : (7^4 \cdot 6^3)^4 = 1;$

3) $\left(\frac{4}{5}\right)^6 \cdot (4^3)^3 \cdot 5^8 : (4^7 \cdot 5)^2 = 4;$

4) $(9^4 \cdot 8^3)^5 : (9^{10})^2 : (8^2)^7 = 8.$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, используя свойства степеней: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$, $(ab)^n = a^n b^n$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$(\frac{2}{3})^5 \cdot (2^5)^3 \cdot 3^7 : (2^{10} \cdot 3)^2 = \frac{2^5}{3^5} \cdot 2^{5 \cdot 3} \cdot 3^7 : (2^{10 \cdot 2} \cdot 3^2) = \frac{2^5}{3^5} \cdot 2^{15} \cdot 3^7 : (2^{20} \cdot 3^2)$.
Представим выражение в виде дроби и сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{2^5 \cdot 2^{15} \cdot 3^7}{3^5 \cdot 2^{20} \cdot 3^2} = \frac{2^{5+15} \cdot 3^7}{3^{5+2} \cdot 2^{20}} = \frac{2^{20} \cdot 3^7}{3^7 \cdot 2^{20}} = 2^{20-20} \cdot 3^{7-7} = 2^0 \cdot 3^0 = 1 \cdot 1 = 1$.
Так как левая часть равна $1$, тождество $1=1$ является верным.
Ответ: тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть выражения, применяя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$.
$(7^2)^8 \cdot (6^3)^4 : (7^4 \cdot 6^3)^4 = 7^{2 \cdot 8} \cdot 6^{3 \cdot 4} : (7^{4 \cdot 4} \cdot 6^{3 \cdot 4}) = 7^{16} \cdot 6^{12} : (7^{16} \cdot 6^{12})$.
Деление выражения на само себя дает в результате $1$:
$\frac{7^{16} \cdot 6^{12}}{7^{16} \cdot 6^{12}} = 1$.
Так как левая часть равна $1$, тождество $1=1$ является верным.
Ответ: тождество доказано.

3) Преобразуем левую часть выражения, используя свойства степеней.
$(\frac{4}{5})^6 \cdot (4^3)^3 \cdot 5^8 : (4^7 \cdot 5)^2 = \frac{4^6}{5^6} \cdot 4^{3 \cdot 3} \cdot 5^8 : (4^{7 \cdot 2} \cdot 5^2) = \frac{4^6}{5^6} \cdot 4^9 \cdot 5^8 : (4^{14} \cdot 5^2)$.
Представим в виде дроби и сгруппируем основания:
$\frac{4^6 \cdot 4^9 \cdot 5^8}{5^6 \cdot 4^{14} \cdot 5^2} = \frac{4^{6+9} \cdot 5^8}{4^{14} \cdot 5^{6+2}} = \frac{4^{15} \cdot 5^8}{4^{14} \cdot 5^8} = 4^{15-14} \cdot 5^{8-8} = 4^1 \cdot 5^0 = 4 \cdot 1 = 4$.
Так как левая часть равна $4$, тождество $4=4$ является верным.
Ответ: тождество доказано.

4) Преобразуем левую часть выражения, используя свойства степеней.
$(9^4 \cdot 8^3)^5 : (9^{10})^2 : (8^2)^7 = (9^{4 \cdot 5} \cdot 8^{3 \cdot 5}) : 9^{10 \cdot 2} : 8^{2 \cdot 7} = (9^{20} \cdot 8^{15}) : 9^{20} : 8^{14}$.
Выполняя деление последовательно (слева направо), получаем:
$\frac{9^{20} \cdot 8^{15}}{9^{20} \cdot 8^{14}} = (\frac{9^{20}}{9^{20}}) \cdot (\frac{8^{15}}{8^{14}}) = 9^{20-20} \cdot 8^{15-14} = 9^0 \cdot 8^1 = 1 \cdot 8 = 8$.
Так как левая часть равна $8$, тождество $8=8$ является верным.
Ответ: тождество доказано.

Упростите выражения (5.11–5.12):

5.11. 1) $(2x^5y^7)^3 : (x^{14}y^{20}) - (3xy^5)^3 : (x^2y^{14});$

2) $(-3a^4b^5)^2 \cdot (-2a^2b^3)^3 : (-72a^6b^9)^2 + a^2b;$

3) $(5x^6y^2)^3 \cdot (-x^8y^7)^2 : (-0.2x^{15}y^{10})^2 - 10x^4;$

4) $(-2a^{10}b^{20})^2 : (-a^2b^3)^3 : (-2a^5b^{24})^2.$

1) Упростим выражение $(2x^5y^7)^3 : (x^{14}y^{20}) - (3xy^5)^3 : (x^2y^{14})$ по частям. Сначала выполним действия в уменьшаемом: $(2x^5y^7)^3 = 2^3(x^5)^3(y^7)^3 = 8x^{15}y^{21}$. Затем деление: $8x^{15}y^{21} : (x^{14}y^{20}) = 8x^{15-14}y^{21-20} = 8xy$. Теперь выполним действия в вычитаемом: $(3xy^5)^3 = 3^3x^3(y^5)^3 = 27x^3y^{15}$. Затем деление: $27x^3y^{15} : (x^2y^{14}) = 27x^{3-2}y^{15-14} = 27xy$. Наконец, найдем разность полученных выражений: $8xy - 27xy = (8-27)xy = -19xy$.
Ответ: $-19xy$.

2) Рассмотрим выражение $(-3a^4b^5)^2 \cdot (-2a^2b^3)^3 : (-72a^6b^9)^2 + a^2b$. Упростим первое слагаемое, выполняя действия по порядку. Сначала возведем одночлены в степень: $(-3a^4b^5)^2 = 9a^8b^{10}$; $(-2a^2b^3)^3 = -8a^6b^9}$; $(-72a^6b^9)^2 = 5184a^{12}b^{18}$. Далее выполним умножение и деление слева направо: $9a^8b^{10} \cdot (-8a^6b^9) = -72a^{14}b^{19}$. Результат разделим на третий одночлен: $(-72a^{14}b^{19}) : (5184a^{12}b^{18}) = -\frac{72}{5184}a^{14-12}b^{19-18} = -\frac{1}{72}a^2b$. Теперь прибавим второе слагаемое: $-\frac{1}{72}a^2b + a^2b = (-\frac{1}{72} + 1)a^2b = \frac{71}{72}a^2b$.
Ответ: $\frac{71}{72}a^2b$.

3) Упростим выражение $(5x^6y^2)^3 \cdot (-x^8y^7)^2 : (-0,2x^{15}y^{10})^2 - 10x^4$. Сначала упростим уменьшаемое. Возведем в степень каждый множитель: $(5x^6y^2)^3 = 125x^{18}y^6$; $(-x^8y^7)^2 = x^{16}y^{14}$; $(-0,2x^{15}y^{10})^2 = 0,04x^{30}y^{20}$. Теперь выполним умножение и деление: $(125x^{18}y^6 \cdot x^{16}y^{14}) : (0,04x^{30}y^{20}) = (125x^{18+16}y^{6+14}) : (0,04x^{30}y^{20}) = 125x^{34}y^{20} : (0,04x^{30}y^{20}) = \frac{125}{0,04}x^{34-30}y^{20-20} = 3125x^4$. Наконец, выполним вычитание: $3125x^4 - 10x^4 = 3115x^4$.
Ответ: $3115x^4$.

4) Упростим выражение $(-2a^{10}b^{20})^2 : (-a^2b^3)^3 : (-2a^5b^{24})^2$. Выполним действия по порядку. Сначала возведем в степень каждый член выражения: $(-2a^{10}b^{20})^2 = 4a^{20}b^{40}$; $(-a^2b^3)^3 = -a^6b^9$; $(-2a^5b^{24})^2 = 4a^{10}b^{48}$. Теперь выполним деление слева направо. Первое деление: $(4a^{20}b^{40}) : (-a^6b^9) = -4a^{20-6}b^{40-9} = -4a^{14}b^{31}$. Второе деление: $(-4a^{14}b^{31}) : (4a^{10}b^{48}) = \frac{-4}{4}a^{14-10}b^{31-48} = -1 \cdot a^4 \cdot b^{-17} = -\frac{a^4}{b^{17}}$.
Ответ: $-\frac{a^4}{b^{17}}$.

5.12.

1) $(x^{11}y^{12}z^{13})^2 : (x^2yz^2)^9 \cdot (xyz^5)^2$

2) $(\frac{x}{y})^5 \cdot (\frac{x^4}{y^3})^3 \cdot (\frac{x^8}{y^{10}})^2 \cdot (\frac{x}{y})^5$

1) $(x^{11}y^{12}z^{13})^2 : (x^2yz^2)^9 \cdot (xyz^5)^2$

Для упрощения данного выражения последовательно выполним действия, используя свойства степеней:

• Возведение произведения в степень: $(abc)^n = a^n b^n c^n$.
• Возведение степени в степень: $(a^m)^n = a^{mn}$.
• Умножение степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
• Деление степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

1. Сначала раскроем скобки, возводя каждое выражение в соответствующую степень:

$(x^{11}y^{12}z^{13})^2 = x^{11 \cdot 2}y^{12 \cdot 2}z^{13 \cdot 2} = x^{22}y^{24}z^{26}$

$(x^2yz^2)^9 = x^{2 \cdot 9}y^{1 \cdot 9}z^{2 \cdot 9} = x^{18}y^9z^{18}$

$(xyz^5)^2 = x^{1 \cdot 2}y^{1 \cdot 2}z^{5 \cdot 2} = x^2y^2z^{10}$

2. Подставим полученные одночлены в исходное выражение:

$x^{22}y^{24}z^{26} : x^{18}y^9z^{18} \cdot x^2y^2z^{10}$

3. Согласно порядку выполнения действий, операции умножения и деления имеют одинаковый приоритет и выполняются слева направо. Сначала выполним деление:

$(x^{22}y^{24}z^{26}) : (x^{18}y^9z^{18}) = x^{22-18}y^{24-9}z^{26-18} = x^4y^{15}z^8$

4. Теперь умножим полученный результат на оставшееся выражение:

$(x^4y^{15}z^8) \cdot (x^2y^2z^{10}) = x^{4+2}y^{15+2}z^{8+10} = x^6y^{17}z^{18}$

Ответ: $x^6y^{17}z^{18}$

2) $(\frac{x}{y})^5 \cdot (\frac{x^4}{y^3})^3 \cdot (\frac{x^8}{y^{10}})^2 \cdot (\frac{x}{y})^5$

Для упрощения этого выражения воспользуемся следующими свойствами степеней:

• Возведение дроби в степень: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.
• Возведение степени в степень: $(a^m)^n = a^{mn}$.
• Умножение степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

1. Сначала раскроем скобки в каждом множителе:

$(\frac{x}{y})^5 = \frac{x^5}{y^5}$

$(\frac{x^4}{y^3})^3 = \frac{(x^4)^3}{(y^3)^3} = \frac{x^{4 \cdot 3}}{y^{3 \cdot 3}} = \frac{x^{12}}{y^9}$

$(\frac{x^8}{y^{10}})^2 = \frac{(x^8)^2}{(y^{10})^2} = \frac{x^{8 \cdot 2}}{y^{10 \cdot 2}} = \frac{x^{16}}{y^{20}}$

2. Подставим упрощенные выражения обратно в произведение:

$\frac{x^5}{y^5} \cdot \frac{x^{12}}{y^9} \cdot \frac{x^{16}}{y^{20}} \cdot \frac{x^5}{y^5}$

3. Перемножим все числители и все знаменатели:

Числитель: $x^5 \cdot x^{12} \cdot x^{16} \cdot x^5 = x^{5+12+16+5} = x^{38}$

Знаменатель: $y^5 \cdot y^9 \cdot y^{20} \cdot y^5 = y^{5+9+20+5} = y^{39}$

4. Запишем итоговую дробь:

$\frac{x^{38}}{y^{39}}$

Ответ: $\frac{x^{38}}{y^{39}}$

5.13. Найдите значение выражения:

1) $ (a^3b^5)^5 : (a^7b^{12})^2 \cdot (ab)^3 $ при $a = -2$, $b = -\frac{1}{2};$

2) $ \left(\frac{a^4}{b^5}\right)^2 \cdot \left(\frac{b^6}{a^3}\right)^2 : (ab) $ при $a = -\frac{1}{3}$, $b = -3.$

1) Для начала упростим выражение $(a^3b^5)^5 : (a^7b^{12})^2 \cdot (ab)^3$, применяя свойства степеней: $(x^m)^n = x^{mn}$, $(xy)^n = x^n y^n$, $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ и $x^m : x^n = x^{m-n}$.

Раскроем скобки в каждом из трех множителей:

$(a^3b^5)^5 = (a^3)^5 \cdot (b^5)^5 = a^{3 \cdot 5} b^{5 \cdot 5} = a^{15}b^{25}$

$(a^7b^{12})^2 = (a^7)^2 \cdot (b^{12})^2 = a^{7 \cdot 2} b^{12 \cdot 2} = a^{14}b^{24}$

$(ab)^3 = a^3b^3$

Подставим полученные выражения обратно в исходное:

$a^{15}b^{25} : a^{14}b^{24} \cdot a^3b^3$

Выполним действия в соответствии с их порядком. Первым идет деление:

$(a^{15}b^{25}) : (a^{14}b^{24}) = a^{15-14}b^{25-24} = a^1b^1 = ab$

Затем выполним умножение:

$(ab) \cdot (a^3b^3) = a^{1+3}b^{1+3} = a^4b^4$

Таким образом, упрощенное выражение имеет вид $(ab)^4$.

Подставим заданные значения $a = -2$ и $b = -\frac{1}{2}$ в упрощенное выражение.

Сначала вычислим произведение $ab$:

$ab = (-2) \cdot (-\frac{1}{2}) = 1$

Теперь вычислим итоговое значение:

$(ab)^4 = 1^4 = 1$

Ответ: $1$.

2) Упростим данное выражение $(\frac{a^4}{b^5})^2 \cdot (\frac{b^6}{a^3})^2 : (ab)$, используя свойства степеней: $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$, $(x^m)^n = x^{mn}$, $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ и $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Преобразуем каждый множитель, возводя дроби в степень:

$(\frac{a^4}{b^5})^2 = \frac{(a^4)^2}{(b^5)^2} = \frac{a^8}{b^{10}}$

$(\frac{b^6}{a^3})^2 = \frac{(b^6)^2}{(a^3)^2} = \frac{b^{12}}{a^6}$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{a^8}{b^{10}} \cdot \frac{b^{12}}{a^6} : (ab)$

Сначала выполним умножение дробей:

$\frac{a^8}{b^{10}} \cdot \frac{b^{12}}{a^6} = \frac{a^8 b^{12}}{b^{10} a^6} = a^{8-6} b^{12-10} = a^2b^2$

Далее выполним деление на $(ab)$:

$(a^2b^2) : (ab) = \frac{a^2b^2}{ab} = a^{2-1}b^{2-1} = ab$

Теперь подставим заданные значения $a = -\frac{1}{3}$ и $b = -3$ в упрощенное выражение $ab$.

$ab = (-\frac{1}{3}) \cdot (-3) = 1$

Ответ: $1$.

5.14. Упростите выражение:

1) $(4^k 3^n)^2 : (4^{k-1} 3^{n-1})^2;$

2) $(7^m 9^n)^3 : (7^{m-2} 9^n)^3;$

3) $(11^k 5^t)^4 : (11^k 5^{t-1})^4;$

4) $(13^m 6^k)^3 : (13^m 6^{k-1})^3.$

1) Для упрощения данного выражения $(4^k 3^n)^2 : (4^{k-1} 3^{n-1})^2$ можно использовать свойство частного степеней с одинаковым показателем $a^x : b^x = (a:b)^x$.
$(4^k 3^n)^2 : (4^{k-1} 3^{n-1})^2 = \left( \frac{4^k 3^n}{4^{k-1} 3^{n-1}} \right)^2$
Теперь упростим выражение в скобках, разделив степени с одинаковыми основаниями по правилу $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{4^k}{4^{k-1}} = 4^{k-(k-1)} = 4^{k-k+1} = 4^1 = 4$
$\frac{3^n}{3^{n-1}} = 3^{n-(n-1)} = 3^{n-n+1} = 3^1 = 3$
Подставляем полученные результаты обратно в выражение:
$(4 \cdot 3)^2 = 12^2 = 144$
Ответ: $144$

2) Упростим выражение $(7^m 9^n)^3 : (7^{m-2} 9^n)^3$, используя тот же подход. Сначала применим свойство частного степеней:
$(7^m 9^n)^3 : (7^{m-2} 9^n)^3 = \left( \frac{7^m 9^n}{7^{m-2} 9^n} \right)^3$
Упростим дробь в скобках:
$\frac{7^m}{7^{m-2}} = 7^{m-(m-2)} = 7^{m-m+2} = 7^2$
$\frac{9^n}{9^n} = 9^{n-n} = 9^0 = 1$
Подставляем и вычисляем:
$(7^2 \cdot 1)^3 = (7^2)^3$
По свойству степени степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(7^2)^3 = 7^{2 \cdot 3} = 7^6$
Ответ: $7^6$

3) Упростим выражение $(11^k 5^t)^4 : (11^k 5^{t-1})^4$. Применим свойство частного степеней:
$(11^k 5^t)^4 : (11^k 5^{t-1})^4 = \left( \frac{11^k 5^t}{11^k 5^{t-1}} \right)^4$
Упростим дробь в скобках:
$\frac{11^k}{11^k} = 11^{k-k} = 11^0 = 1$
$\frac{5^t}{5^{t-1}} = 5^{t-(t-1)} = 5^{t-t+1} = 5^1 = 5$
Подставляем и вычисляем:
$(1 \cdot 5)^4 = 5^4 = 625$
Ответ: $625$

4) Упростим выражение $(13^m 6^k)^3 : (13^m 6^{k-1})^3$. Применим свойство частного степеней:
$(13^m 6^k)^3 : (13^m 6^{k-1})^3 = \left( \frac{13^m 6^k}{13^m 6^{k-1}} \right)^3$
Упростим дробь в скобках:
$\frac{13^m}{13^m} = 13^{m-m} = 13^0 = 1$
$\frac{6^k}{6^{k-1}} = 6^{k-(k-1)} = 6^{k-k+1} = 6^1 = 6$
Подставляем и вычисляем:
$(1 \cdot 6)^3 = 6^3 = 216$
Ответ: $216$

5.15. Вычислите:

1) $(100^{10} \cdot 9^3)^7 \cdot (100^{20} \cdot 9^6)^2 : (100^{109} \cdot 9^{33});$

2) $(0,15^{16} \cdot 3^7)^5 \cdot (3^3 \cdot 0,15^{10})^3 : (3^{20} \cdot 0,15^{55})^2;$

3) $(\left(\frac{3}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^6)^{10} : (\left(\frac{4}{5}\right)^{12} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^6)^5;$

4) $(\left(\frac{5}{6}\right)^7 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^3)^8 \cdot (\left(\frac{6}{7}\right)^{11} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{27})^2.$

1) Для решения этого примера воспользуемся свойствами степеней: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Исходное выражение: $(100^{10} \cdot 9^3)^7 \cdot (100^{20} \cdot 9^6)^2 : (100^{109} \cdot 9^{33})$.

Сначала раскроем скобки, применив свойство $(a^m \cdot b^k)^n = a^{m \cdot n} \cdot b^{k \cdot n}$:

$(100^{10} \cdot 9^3)^7 = 100^{10 \cdot 7} \cdot 9^{3 \cdot 7} = 100^{70} \cdot 9^{21}$

$(100^{20} \cdot 9^6)^2 = 100^{20 \cdot 2} \cdot 9^{6 \cdot 2} = 100^{40} \cdot 9^{12}$

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$(100^{70} \cdot 9^{21}) \cdot (100^{40} \cdot 9^{12}) : (100^{109} \cdot 9^{33})$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$(100^{70} \cdot 100^{40}) \cdot (9^{21} \cdot 9^{12}) : (100^{109} \cdot 9^{33})$

$100^{70+40} \cdot 9^{21+12} : (100^{109} \cdot 9^{33})$

$100^{110} \cdot 9^{33} : (100^{109} \cdot 9^{33})$

Выполним деление, используя свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$(100^{110} : 100^{109}) \cdot (9^{33} : 9^{33}) = 100^{110-109} \cdot 9^{33-33} = 100^1 \cdot 9^0 = 100 \cdot 1 = 100$

Ответ: $100$.

2) Решаем аналогично первому примеру, используя те же свойства степеней.

Исходное выражение: $(0,15^{16} \cdot 3^7)^5 \cdot (3^3 \cdot 0,15^{10})^3 : (3^{20} \cdot 0,15^{55})^2$.

Раскроем скобки:

$(0,15^{16} \cdot 3^7)^5 = 0,15^{16 \cdot 5} \cdot 3^{7 \cdot 5} = 0,15^{80} \cdot 3^{35}$

$(3^3 \cdot 0,15^{10})^3 = 3^{3 \cdot 3} \cdot 0,15^{10 \cdot 3} = 3^9 \cdot 0,15^{30}$

$(3^{20} \cdot 0,15^{55})^2 = 3^{20 \cdot 2} \cdot 0,15^{55 \cdot 2} = 3^{40} \cdot 0,15^{110}$

Подставим в исходное выражение:

$(0,15^{80} \cdot 3^{35}) \cdot (3^9 \cdot 0,15^{30}) : (3^{40} \cdot 0,15^{110})$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$(0,15^{80} \cdot 0,15^{30}) \cdot (3^{35} \cdot 3^9) : (3^{40} \cdot 0,15^{110})$

$0,15^{80+30} \cdot 3^{35+9} : (3^{40} \cdot 0,15^{110})$

$0,15^{110} \cdot 3^{44} : (3^{40} \cdot 0,15^{110})$

Выполним деление:

$(0,15^{110} : 0,15^{110}) \cdot (3^{44} : 3^{40}) = 0,15^{110-110} \cdot 3^{44-40} = 0,15^0 \cdot 3^4 = 1 \cdot 81 = 81$

Ответ: $81$.

3) Используем те же свойства степеней для дробей.

Исходное выражение: $\left(\left(\frac{3}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^6\right)^{10} : \left(\left(\frac{4}{5}\right)^{12} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^6\right)^5$.

Раскроем скобки:

$\left(\left(\frac{3}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^6\right)^{10} = \left(\frac{3}{4}\right)^{3 \cdot 10} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{6 \cdot 10} = \left(\frac{3}{4}\right)^{30} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{60}$

$\left(\left(\frac{4}{5}\right)^{12} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^6\right)^5 = \left(\frac{4}{5}\right)^{12 \cdot 5} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{6 \cdot 5} = \left(\frac{4}{5}\right)^{60} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{30}$

Подставим в исходное выражение:

$\left(\left(\frac{3}{4}\right)^{30} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{60}\right) : \left(\left(\frac{4}{5}\right)^{60} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{30}\right)$

Так как делимое и делитель равны, их частное равно 1. Проверим, выполнив деление степеней с одинаковыми основаниями:

$\left(\frac{3}{4}\right)^{30-30} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^{60-60} = \left(\frac{3}{4}\right)^0 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^0 = 1 \cdot 1 = 1$

Ответ: $1$.

4) В данном примере знак между скобками является умножением. Однако, учитывая структуру подобных заданий, где обычно получается простое число или дробь, более вероятно, что в условии опечатка, и вместо умножения должно быть деление. Решим задачу, предполагая, что операция - деление.

Предполагаемое выражение: $\left(\left(\frac{5}{6}\right)^7 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^3\right)^8 : \left(\left(\frac{6}{7}\right)^{11} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{27}\right)^2$.

Раскроем скобки:

$\left(\left(\frac{5}{6}\right)^7 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^3\right)^8 = \left(\frac{5}{6}\right)^{7 \cdot 8} \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{3 \cdot 8} = \left(\frac{5}{6}\right)^{56} \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{24}$

$\left(\left(\frac{6}{7}\right)^{11} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{27}\right)^2 = \left(\frac{6}{7}\right)^{11 \cdot 2} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{27 \cdot 2} = \left(\frac{6}{7}\right)^{22} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{54}$

Подставим в выражение и выполним деление:

$\left(\left(\frac{5}{6}\right)^{56} \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{24}\right) : \left(\left(\frac{6}{7}\right)^{22} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{54}\right)$

Сгруппируем дроби с одинаковыми основаниями:

$\left(\left(\frac{5}{6}\right)^{56} : \left(\frac{5}{6}\right)^{54}\right) \cdot \left(\left(\frac{6}{7}\right)^{24} : \left(\frac{6}{7}\right)^{22}\right)$

$\left(\frac{5}{6}\right)^{56-54} \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{24-22} = \left(\frac{5}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^2$

Используем свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$\left(\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{7}\right)^2 = \left(\frac{5 \cdot 6}{6 \cdot 7}\right)^2 = \left(\frac{5}{7}\right)^2 = \frac{25}{49}$

Ответ: $\frac{25}{49}$.