Страница 53 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.3. Представьте числа 5; 25; 125; 625; $\frac{1}{5}$; $\frac{1}{25}$; $\frac{1}{125}$; $\frac{1}{625}$:

1) в виде степени с основанием 5;

2) в виде степени с основанием $\frac{1}{5}$.

1) в виде степени с основанием 5;

Чтобы представить заданные числа в виде степени с основанием 5, находим соответствующий показатель степени для каждого числа. Для дробей используется свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$5 = 5^1$

$25 = 5^2$

$125 = 5^3$

$625 = 5^4$

$\frac{1}{5} = 5^{-1}$

$\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$

$\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}$

$\frac{1}{625} = \frac{1}{5^4} = 5^{-4}$

Ответ: $5^1; \ 5^2; \ 5^3; \ 5^4; \ 5^{-1}; \ 5^{-2}; \ 5^{-3}; \ 5^{-4}.$

2) в виде степени с основанием $\frac{1}{5}$.

Чтобы представить заданные числа в виде степени с основанием $\frac{1}{5}$, находим соответствующий показатель степени. Используем свойство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и свойство степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. Из последнего следует, что $5 = (\frac{1}{5})^{-1}$.

$5 = (\frac{1}{5})^{-1}$

$25 = 5^2 = ((\frac{1}{5})^{-1})^2 = (\frac{1}{5})^{-2}$

$125 = 5^3 = ((\frac{1}{5})^{-1})^3 = (\frac{1}{5})^{-3}$

$625 = 5^4 = ((\frac{1}{5})^{-1})^4 = (\frac{1}{5})^{-4}$

$\frac{1}{5} = (\frac{1}{5})^1$

$\frac{1}{25} = \frac{1^2}{5^2} = (\frac{1}{5})^2$

$\frac{1}{125} = \frac{1^3}{5^3} = (\frac{1}{5})^3$

$\frac{1}{625} = \frac{1^4}{5^4} = (\frac{1}{5})^4$

Ответ: $(\frac{1}{5})^{-1}; \ (\frac{1}{5})^{-2}; \ (\frac{1}{5})^{-3}; \ (\frac{1}{5})^{-4}; \ (\frac{1}{5})^1; \ (\frac{1}{5})^2; \ (\frac{1}{5})^3; \ (\frac{1}{5})^4.$

6.4. Вычислите:

1) $2^{-3}$;2) $(-3)^{-3}$;3) $(-1)^{-22}$;

4) $\left(\frac{2}{5}\right)^3$;5) $0,02^{-3}$;6) $1,25^{-2}$;

7) $-4^{-3}$;8) $(-0,3)^{-2}$;9) $\left(-2\frac{1}{2}\right)^{-3}$;

10) $(-2,25)^{-1}$;11) $-(-2,3)^{-1}$;12) $-\left(-2\frac{1}{3}\right)^{-2}$.

1) Для вычисления степени с отрицательным показателем используем правило $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Таким образом, $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$. Ответ: $\frac{1}{8}$.

2) Применяем правило $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Поскольку основание отрицательное, а показатель степени нечетный, результат будет отрицательным. $ (-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3} = \frac{1}{-27} = -\frac{1}{27}$. Ответ: $-\frac{1}{27}$.

3) Используем правило $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Любая четная степень числа $-1$ равна $1$. Следовательно, $(-1)^{-22} = \frac{1}{(-1)^{22}} = \frac{1}{1} = 1$. Ответ: $1$.

4) Для возведения дроби в степень необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$. Таким образом, $(\frac{2}{5})^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}$. Ответ: $\frac{8}{125}$.

5) Сначала представим десятичную дробь $0,02$ в виде обыкновенной: $0,02 = \frac{2}{100} = \frac{1}{50}$. Затем воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. Получаем: $0,02^{-3} = (\frac{1}{50})^{-3} = (\frac{50}{1})^3 = 50^3 = 125000$. Ответ: $125000$.

6) Представим десятичное число $1,25$ в виде обыкновенной дроби: $1,25 = 1\frac{25}{100} = 1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$. Теперь возведем в степень, используя правило $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$: $(\frac{5}{4})^{-2} = (\frac{4}{5})^2 = \frac{4^2}{5^2} = \frac{16}{25}$. Ответ: $\frac{16}{25}$.

7) В данном выражении операция возведения в степень имеет более высокий приоритет, чем унарный минус. Поэтому сначала вычисляем $4^{-3}$, а затем применяем знак минус. $4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$. Следовательно, $-4^{-3} = -\frac{1}{64}$. Ответ: $-\frac{1}{64}$.

8) Переведем десятичную дробь $-0,3$ в обыкновенную: $-\frac{3}{10}$. При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным. $(-0,3)^{-2} = (-\frac{3}{10})^{-2} = (-\frac{10}{3})^2 = \frac{(-10)^2}{3^2} = \frac{100}{9}$. Ответ: $\frac{100}{9}$.

9) Переведем смешанное число $-2\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $-\frac{5}{2}$. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным. $(-2\frac{1}{2})^{-3} = (-\frac{5}{2})^{-3} = (-\frac{2}{5})^3 = \frac{(-2)^3}{5^3} = -\frac{8}{125}$. Ответ: $-\frac{8}{125}$.

10) Переведем десятичное число $-2,25$ в неправильную дробь: $-2,25 = -2\frac{25}{100} = -2\frac{1}{4} = -\frac{9}{4}$. Возведение в степень $-1$ означает нахождение обратного числа. $(-2,25)^{-1} = (-\frac{9}{4})^{-1} = -\frac{4}{9}$. Ответ: $-\frac{4}{9}$.

11) Сначала вычислим выражение в скобках. $-2,3 = -\frac{23}{10}$. Тогда $(-2,3)^{-1} = (-\frac{23}{10})^{-1} = -\frac{10}{23}$. Теперь применим знак минус перед скобками: $- (-\frac{10}{23}) = \frac{10}{23}$. Ответ: $\frac{10}{23}$.

12) Сначала вычислим выражение в скобках. Переведем смешанное число в неправильную дробь: $-2\frac{1}{3} = -\frac{7}{3}$. Возводим в четную степень $-2$: $(-2\frac{1}{3})^{-2} = (-\frac{7}{3})^{-2} = (-\frac{3}{7})^2 = \frac{3^2}{7^2} = \frac{9}{49}$. Теперь применим знак минус перед скобками: $-(\frac{9}{49}) = -\frac{9}{49}$. Ответ: $-\frac{9}{49}$.

6.5. Замените дробью степень с целым отрицательным показателем:

1) $(25)^{-1}$;

2) $(0,125)^{-2}$;

3) $(-2,5)^{-2}$;

4) $\left(\frac{2}{5}\right)^{-1}$;

5) $\left(2\frac{1}{3}\right)^{-3}$;

6) $\left(-\frac{2}{7}\right)^{-2}$.

1) Чтобы заменить степень с целым отрицательным показателем на дробь, используется свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ для любого ненулевого числа $a$ и целого $n$.
В данном случае $a = 25$ и $n = 1$. Применяя это правило, получаем:
$(25)^{-1} = \frac{1}{25^1} = \frac{1}{25}$.
Ответ: $\frac{1}{25}$

2) Сначала преобразуем десятичную дробь $0,125$ в обыкновенную.
$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.
Теперь выражение принимает вид $(\frac{1}{8})^{-2}$. Воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(\frac{1}{8})^{-2} = (\frac{8}{1})^2 = 8^2 = 64$.
Ответ: $64$

3) Преобразуем десятичное число $-2,5$ в обыкновенную дробь.
$-2,5 = -\frac{25}{10} = -\frac{5}{2}$.
Теперь необходимо вычислить $(-\frac{5}{2})^{-2}$. Используя свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем:
$(-\frac{5}{2})^{-2} = (-\frac{2}{5})^2$.
Так как показатель степени $2$ является четным числом, результат будет положительным:
$(-\frac{2}{5})^2 = \frac{(-2)^2}{5^2} = \frac{4}{25}$.
Ответ: $\frac{4}{25}$

4) Для выражения $(\frac{2}{5})^{-1}$ применим правило $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
В данном случае $a=2$, $b=5$ и $n=1$.
$(\frac{2}{5})^{-1} = (\frac{5}{2})^1 = \frac{5}{2}$.
Ответ: $\frac{5}{2}$

5) Сначала преобразуем смешанное число $2\frac{1}{3}$ в неправильную дробь.
$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.
Теперь выражение выглядит как $(\frac{7}{3})^{-3}$. Применим свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(\frac{7}{3})^{-3} = (\frac{3}{7})^3 = \frac{3^3}{7^3} = \frac{27}{343}$.
Ответ: $\frac{27}{343}$

6) Для выражения $(-\frac{2}{7})^{-2}$ воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(-\frac{2}{7})^{-2} = (-\frac{7}{2})^2$.
Поскольку показатель степени $2$ — четное число, знак минус у основания при возведении в степень исчезает:
$(-\frac{7}{2})^2 = \frac{(-7)^2}{2^2} = \frac{49}{4}$.
Ответ: $\frac{49}{4}$

6.6. Вычислите:

1) $3 \cdot 12^{-2}$;

2) $2^{-3} + 6^{-1}$;

3) $3^{-2} - (-3)^{-1}$;

4) $-2 \cdot 4^{-3}$;

5) $3 \cdot 4^{-2} + 2^{-3}$;

6) $0,4^0 - (-0,25)^{-3}$;

7) $-(-2,5)^{-2} + \left(-\frac{2}{5}\right)^{-2}$;

8) $(-3)^{-3} - 3,5^{-1}$;

9) $-4^{-3} + \left(-\frac{4}{5}\right)^{-2}$;

10) $-3,5^{-1} + (-2,5)^{-2}$;

11) $3 \cdot (-4)^{-2} + 5^{-1}$;

12) $(-2,7)^0 + \left(\frac{1}{7}\right)^{-1}$.

1) Вычислим выражение $3 \cdot 12^{-2}$.
Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$12^{-2} = \frac{1}{12^2} = \frac{1}{144}$.
Теперь выполним умножение: $3 \cdot \frac{1}{144} = \frac{3}{144}$.
Сокращаем полученную дробь: $\frac{3}{144} = \frac{1}{48}$.
Ответ: $\frac{1}{48}$.

2) Вычислим выражение $2^{-3} + 6^{-1}$.
Применим свойство степени с отрицательным показателем для каждого слагаемого:
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
$6^{-1} = \frac{1}{6^1} = \frac{1}{6}$.
Теперь сложим полученные дроби: $\frac{1}{8} + \frac{1}{6}$.
Приведем дроби к общему знаменателю, равному 24:
$\frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{3}{24} + \frac{4}{24} = \frac{7}{24}$.
Ответ: $\frac{7}{24}$.

3) Вычислим выражение $3^{-2} - (-3)^{-1}$.
Преобразуем степени с отрицательным показателем:
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
$(-3)^{-1} = \frac{1}{(-3)^1} = -\frac{1}{3}$.
Выполним вычитание: $\frac{1}{9} - (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{1}{3}$.
Приведем к общему знаменателю 9: $\frac{1}{9} + \frac{3}{9} = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$.

4) Вычислим выражение $-2 \cdot 4^{-3}$.
Сначала вычислим степень: $4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$.
Теперь выполним умножение: $-2 \cdot \frac{1}{64} = -\frac{2}{64}$.
Сократим дробь: $-\frac{2}{64} = -\frac{1}{32}$.
Ответ: $-\frac{1}{32}$.

5) Вычислим выражение $3 \cdot 4^{-2} + 2^{-3}$.
Преобразуем степени с отрицательными показателями:
$4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$.
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
Подставим значения в выражение: $3 \cdot \frac{1}{16} + \frac{1}{8} = \frac{3}{16} + \frac{1}{8}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 16: $\frac{3}{16} + \frac{2}{16} = \frac{5}{16}$.
Ответ: $\frac{5}{16}$.

6) Вычислим выражение $0,4^0 - (-0,25)^{-3}$.
Используем свойство $a^0=1$ для $a \neq 0$: $0,4^0 = 1$.
Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $-0,25 = -\frac{1}{4}$.
Вычислим степень: $(-0,25)^{-3} = (-\frac{1}{4})^{-3} = (-\frac{4}{1})^3 = (-4)^3 = -64$.
Выполним вычитание: $1 - (-64) = 1 + 64 = 65$.
Ответ: 65.

7) Вычислим выражение $-(-2,5)^{-2} + (-\frac{2}{5})^{-2}$.
Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $-2,5 = -\frac{5}{2}$.
Вычислим первую степень: $(-2,5)^{-2} = (-\frac{5}{2})^{-2} = (-\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25}$.
Тогда первое слагаемое равно $-\frac{4}{25}$.
Вычислим вторую степень: $(-\frac{2}{5})^{-2} = (-\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$.
Сложим результаты: $-\frac{4}{25} + \frac{25}{4}$.
Приведем к общему знаменателю 100: $-\frac{4 \cdot 4}{25 \cdot 4} + \frac{25 \cdot 25}{4 \cdot 25} = -\frac{16}{100} + \frac{625}{100} = \frac{609}{100} = 6,09$.
Ответ: $6,09$.

8) Вычислим выражение $(-3)^{-3} - 3,5^{-1}$.
Вычислим каждую степень отдельно. $3,5 = \frac{7}{2}$.
$(-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3} = \frac{1}{-27} = -\frac{1}{27}$.
$3,5^{-1} = (\frac{7}{2})^{-1} = \frac{2}{7}$.
Выполним вычитание: $-\frac{1}{27} - \frac{2}{7}$.
Приведем к общему знаменателю $27 \cdot 7 = 189$:
$-\frac{1 \cdot 7}{27 \cdot 7} - \frac{2 \cdot 27}{7 \cdot 27} = -\frac{7}{189} - \frac{54}{189} = -\frac{61}{189}$.
Ответ: $-\frac{61}{189}$.

9) Вычислим выражение $-4^{-3} + (-\frac{4}{5})^{-2}$.
Обратите внимание, что в первом члене минус не относится к основанию степени.
$-4^{-3} = -(4^{-3}) = -\frac{1}{4^3} = -\frac{1}{64}$.
Вычислим вторую степень: $(-\frac{4}{5})^{-2} = (-\frac{5}{4})^2 = \frac{25}{16}$.
Сложим результаты: $-\frac{1}{64} + \frac{25}{16}$.
Приведем к общему знаменателю 64: $-\frac{1}{64} + \frac{25 \cdot 4}{16 \cdot 4} = -\frac{1}{64} + \frac{100}{64} = \frac{99}{64}$.
Ответ: $\frac{99}{64}$.

10) Вычислим выражение $-3,5^{-1} + (-2,5)^{-2}$.
Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные: $3,5 = \frac{7}{2}$ и $-2,5 = -\frac{5}{2}$.
Вычислим степени:
$-3,5^{-1} = -(\frac{7}{2})^{-1} = -\frac{2}{7}$.
$(-2,5)^{-2} = (-\frac{5}{2})^{-2} = (-\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25}$.
Выполним сложение: $-\frac{2}{7} + \frac{4}{25}$.
Приведем к общему знаменателю $7 \cdot 25 = 175$:
$-\frac{2 \cdot 25}{7 \cdot 25} + \frac{4 \cdot 7}{25 \cdot 7} = -\frac{50}{175} + \frac{28}{175} = -\frac{22}{175}$.
Ответ: $-\frac{22}{175}$.

11) Вычислим выражение $3 \cdot (-4)^{-2} + 5^{-1}$.
Вычислим степени:
$(-4)^{-2} = \frac{1}{(-4)^2} = \frac{1}{16}$.
$5^{-1} = \frac{1}{5}$.
Подставим значения в выражение: $3 \cdot \frac{1}{16} + \frac{1}{5} = \frac{3}{16} + \frac{1}{5}$.
Приведем к общему знаменателю $16 \cdot 5 = 80$:
$\frac{3 \cdot 5}{16 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 16}{5 \cdot 16} = \frac{15}{80} + \frac{16}{80} = \frac{31}{80}$.
Ответ: $\frac{31}{80}$.

12) Вычислим выражение $(-2,7)^0 + (\frac{1}{7})^{-1}$.
Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1: $(-2,7)^0 = 1$.
Вычислим вторую степень: $(\frac{1}{7})^{-1} = \frac{7}{1} = 7$.
Сложим результаты: $1 + 7 = 8$.
Ответ: 8.

6.7. Представьте в виде дроби выражение:

1) $a^{-1} + b^{-1};$

2) $ab^{-1} - a^{-1}b;$

3) $(x + y^{-1})(x^{-1} + y).$

1) Чтобы представить выражение $a^{-1} + b^{-1}$ в виде дроби, воспользуемся определением степени с отрицательным показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.
Таким образом, $a^{-1} = \frac{1}{a}$ и $b^{-1} = \frac{1}{b}$.
Выражение становится суммой двух дробей: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.
Для их сложения приводим дроби к общему знаменателю $ab$:
$\frac{1 \cdot b}{a \cdot b} + \frac{1 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{b + a}{ab}$.
Ответ: $\frac{a+b}{ab}$

2) Рассмотрим выражение $ab^{-1} - a^{-1}b$.
Используя правило $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, получаем $b^{-1} = \frac{1}{b}$ и $a^{-1} = \frac{1}{a}$.
Подставим это в исходное выражение: $a \cdot \frac{1}{b} - \frac{1}{a} \cdot b = \frac{a}{b} - \frac{b}{a}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $ab$:
$\frac{a \cdot a}{b \cdot a} - \frac{b \cdot b}{a \cdot b} = \frac{a^2}{ab} - \frac{b^2}{ab} = \frac{a^2 - b^2}{ab}$.
Ответ: $\frac{a^2 - b^2}{ab}$

3) Для выражения $(x + y^{-1})(x^{-1} + y)$ сначала упростим каждую из скобок, приведя их к виду дроби.
Первая скобка: $x + y^{-1} = x + \frac{1}{y} = \frac{x \cdot y}{y} + \frac{1}{y} = \frac{xy + 1}{y}$.
Вторая скобка: $x^{-1} + y = \frac{1}{x} + y = \frac{1}{x} + \frac{y \cdot x}{x} = \frac{1 + xy}{x}$.
Теперь перемножим полученные дроби:
$\left(\frac{xy+1}{y}\right) \cdot \left(\frac{1+xy}{x}\right) = \frac{(xy+1)(1+xy)}{yx} = \frac{(xy+1)^2}{xy}$.
Ответ: $\frac{(xy+1)^2}{xy}$