Страница 59 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.5. Представьте в виде степени и найдите значение выражения:

1) $5(5a^{-3})^{-2} a^{-2}$ при $a = (0,2)^{-1};$

2) $(0,5a^{-2})^{-2} : (32a^{5})^{3}$ при $a = (0,5)^{-4};$

3) $(2^{3}a^{-3})^{-1} \cdot 64a^{-4} : a^{-5}$ при $a = -0,125;$

4) $27(-3^{2}a^{3}) : (3^{5}a^{-1})^{3}$ при $a = -0,1.$

1)

Сначала упростим данное выражение, используя свойства степеней $(xy)^n = x^n y^n$, $(x^m)^n = x^{mn}$ и $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$5(5a^{-3})^2 a^{-2} = 5 \cdot 5^2 \cdot (a^{-3})^2 \cdot a^{-2} = 5^1 \cdot 5^2 \cdot a^{-3 \cdot 2} \cdot a^{-2} = 5^{1+2} \cdot a^{-6} \cdot a^{-2} = 5^3 \cdot a^{-6-2} = 5^3 a^{-8}$.

Теперь найдем значение $a$:

$a = (0,2)^{-1} = (\frac{2}{10})^{-1} = (\frac{1}{5})^{-1} = 5$.

Подставим найденное значение $a$ в упрощенное выражение, чтобы представить его в виде степени и найти значение:

$5^3 a^{-8} = 5^3 \cdot 5^{-8} = 5^{3-8} = 5^{-5}$.

Вычислим окончательное значение:

$5^{-5} = \frac{1}{5^5} = \frac{1}{3125}$.

Ответ: $5^{-5} = \frac{1}{3125}$.

2)

Упростим выражение $(0,5a^{-2})^{-2} : (32a^5)^3$. Для этого представим числовые коэффициенты в виде степеней двойки: $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $32 = 2^5$.

Выражение принимает вид:

$((2^{-1})a^{-2})^{-2} : ((2^5)a^5)^3$.

Применим свойства степеней $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$:

$((2^{-1})^{-2} \cdot (a^{-2})^{-2}) : ((2^5)^3 \cdot (a^5)^3) = (2^2 a^4) : (2^{15} a^{15})$.

При делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются ($x^m : x^n = x^{m-n}$):

$2^{2-15} \cdot a^{4-15} = 2^{-13} a^{-11}$.

Теперь найдем значение $a$:

$a = (0,5)^{-4} = (\frac{1}{2})^{-4} = (2^{-1})^{-4} = 2^4$.

Подставим значение $a$ в упрощенное выражение:

$2^{-13} \cdot (2^4)^{-11} = 2^{-13} \cdot 2^{4 \cdot (-11)} = 2^{-13} \cdot 2^{-44} = 2^{-13-44} = 2^{-57}$.

Ответ: $2^{-57}$.

3)

Упростим выражение $(2^3a^{-3})^{-1} \cdot 64a^{-4} : a^{-5}$.

Представим $64$ как степень двойки: $64 = 2^6$. Раскроем скобки и выполним действия со степенями:

$(2^{3 \cdot (-1)} a^{-3 \cdot (-1)}) \cdot 2^6 a^{-4} : a^{-5} = (2^{-3}a^3) \cdot 2^6 a^{-4} : a^{-5}$.

Сначала выполним умножение:

$(2^{-3+6} \cdot a^{3-4}) : a^{-5} = (2^3 a^{-1}) : a^{-5}$.

Затем выполним деление:

$2^3 \cdot a^{-1 - (-5)} = 2^3 a^{-1+5} = 2^3 a^4 = 8a^4$.

Теперь найдем значение $a$:

$a = -0,125 = -\frac{125}{1000} = -\frac{1}{8}$.

Подставим значение $a$ в упрощенное выражение:

$8a^4 = 8 \cdot (-\frac{1}{8})^4 = 8^1 \cdot \frac{1}{8^4} = 8^{1-4} = 8^{-3}$.

Представим результат в виде степени с основанием 2 и вычислим значение:

$8^{-3} = (2^3)^{-3} = 2^{-9} = \frac{1}{2^9} = \frac{1}{512}$.

Ответ: $8^{-3} = \frac{1}{512}$.

4)

Упростим выражение $27(-3^2a^3) : (3^5a^{-1})^3$.

Важно отметить, что $-3^2 = -(3^2) = -9$. Представим все числовые коэффициенты в виде степеней тройки: $27 = 3^3$ и $-9 = -3^2$.

Упростим числитель (делимое):

$27(-3^2a^3) = 3^3 \cdot (-3^2 a^3) = -3^{3+2} a^3 = -3^5 a^3$.

Упростим знаменатель (делитель):

$(3^5a^{-1})^3 = (3^5)^3 \cdot (a^{-1})^3 = 3^{5 \cdot 3} a^{-1 \cdot 3} = 3^{15} a^{-3}$.

Теперь выполним деление:

$\frac{-3^5 a^3}{3^{15} a^{-3}} = - \frac{3^5}{3^{15}} \cdot \frac{a^3}{a^{-3}} = -3^{5-15} \cdot a^{3 - (-3)} = -3^{-10} a^6$.

Найдем значение при $a = -0,1$:

$a = -0,1 = -\frac{1}{10}$.

Подставим значение $a$ в упрощенное выражение:

$-3^{-10} a^6 = -3^{-10} \cdot (-\frac{1}{10})^6 = -3^{-10} \cdot \frac{1}{10^6} = -\frac{1}{3^{10} \cdot 10^6}$.

Вычислим значение:

$3^{10} = 59049$.

$-\frac{1}{3^{10} \cdot 10^6} = -\frac{1}{59049 \cdot 1000000} = -\frac{1}{59049000000}$.

Ответ: $-3^{-10} a^6 = -\frac{1}{59049000000}$.

7.6. Решите уравнение:

1) $2^{-2} + 3^{-1} x = 0,25;$

2) $3^{-1} x + 3^{-2} x = 9^{-2} + x;$

3) $2,25x = 5,125 - 4^{-1}x;$

4) $4^{-1} x - 2^{-2} x = 8^2 + x.$

1) $2^{-2} + 3^{-1} x = 0,25$

Сначала преобразуем степени в числовые значения. $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0,25$. $3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$0,25 + \frac{1}{3}x = 0,25$

Теперь перенесем $0,25$ из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный:

$\frac{1}{3}x = 0,25 - 0,25$

$\frac{1}{3}x = 0$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 3:

$x = 0 \cdot 3$

$x = 0$

Ответ: $x=0$.

2) $3^{-1}x + 3^{-2}x = 9^{-2} + x$

Преобразуем степени в дроби: $3^{-1} = \frac{1}{3}$, $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$, $9^{-2} = \frac{1}{9^2} = \frac{1}{81}$.

Уравнение принимает следующий вид:

$\frac{1}{3}x + \frac{1}{9}x = \frac{1}{81} + x$

Сгруппируем все слагаемые, содержащие $x$, в левой части уравнения, а свободные члены — в правой:

$\frac{1}{3}x + \frac{1}{9}x - x = \frac{1}{81}$

Приведем коэффициенты при $x$ к общему знаменателю 9:

$(\frac{3}{9} + \frac{1}{9} - \frac{9}{9})x = \frac{1}{81}$

$-\frac{5}{9}x = \frac{1}{81}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на обратную дробь коэффициента при $x$, то есть на $(-\frac{9}{5})$:

$x = \frac{1}{81} \cdot (-\frac{9}{5})$

$x = -\frac{9}{81 \cdot 5} = -\frac{1}{9 \cdot 5} = -\frac{1}{45}$

Ответ: $x = -\frac{1}{45}$.

3) $2,25x = 5,125 - 4^{-1}x$

Сначала вычислим значение степени: $4^{-1} = \frac{1}{4} = 0,25$.

Подставим это значение в уравнение:

$2,25x = 5,125 - 0,25x$

Перенесем слагаемое с $x$ из правой части в левую с противоположным знаком:

$2,25x + 0,25x = 5,125$

Сложим коэффициенты при $x$:

$2,5x = 5,125$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2,5:

$x = \frac{5,125}{2,5}$

Для удобства вычисления можно умножить числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{51,25}{25} = 2,05$

Ответ: $x = 2,05$.

4) $4^{-1}x - 2^{-2}x = 8^2 + x$

Вычислим значения степеней: $4^{-1} = \frac{1}{4}$, $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$ и $8^2 = 64$.

Подставим вычисленные значения в уравнение:

$\frac{1}{4}x - \frac{1}{4}x = 64 + x$

Упростим левую часть уравнения:

$0 \cdot x = 64 + x$

$0 = 64 + x$

Чтобы найти $x$, перенесем 64 в левую часть с противоположным знаком:

$x = -64$

Ответ: $x = -64$.

7.7. Решите неравенство:

1) $7^{-1}x - 2^{-2}x \ge 2\frac{4}{7}$;

2) $3,125 + x \le 5,125 - 4^{-1}x$;

3) $7,25 + 2x > 5,125 - 5^{-1}x$;

4) $12,5x - 5,125 < 2^{-3} - 4^{-1}x$.

1) Исходное неравенство: $7^{-1}x - 2^{-2}x \ge 2\frac{4}{7}$.
Сначала преобразуем все числовые коэффициенты в дроби.$7^{-1} = \frac{1}{7}$
$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$
$2\frac{4}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{18}{7}$
Подставим полученные значения в неравенство:
$\frac{1}{7}x - \frac{1}{4}x \ge \frac{18}{7}$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 28:
$(\frac{4}{28} - \frac{7}{28})x \ge \frac{18}{7}$
$-\frac{3}{28}x \ge \frac{18}{7}$
Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на $-\frac{28}{3}$. Так как мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le \frac{18}{7} \cdot (-\frac{28}{3})$
$x \le -(\frac{18 \cdot 28}{7 \cdot 3})$
Сократим дробь:
$x \le -(6 \cdot 4)$
$x \le -24$
Ответ: $x \in (-\infty; -24]$.

2) Исходное неравенство: $3,125 + x \le 5,125 - 4^{-1}x$.
Преобразуем $4^{-1}$:
$4^{-1} = \frac{1}{4} = 0,25$
Неравенство принимает вид:
$3,125 + x \le 5,125 - 0,25x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:
$x + 0,25x \le 5,125 - 3,125$
$1,25x \le 2$
Представим $1,25$ в виде обыкновенной дроби: $1,25 = \frac{5}{4}$.
$\frac{5}{4}x \le 2$
Умножим обе части на $\frac{4}{5}$:
$x \le 2 \cdot \frac{4}{5}$
$x \le \frac{8}{5}$
$x \le 1,6$
Ответ: $x \in (-\infty; 1,6]$.

3) Исходное неравенство: $7,25 + 2x > 5,125 - 5^{-1}x$.
Преобразуем $5^{-1}$:
$5^{-1} = \frac{1}{5} = 0,2$
Неравенство принимает вид:
$7,25 + 2x > 5,125 - 0,2x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:
$2x + 0,2x > 5,125 - 7,25$
$2,2x > -2,125$
Для удобства вычислений переведем десятичные дроби в обыкновенные:
$2,2 = \frac{22}{10} = \frac{11}{5}$
$2,125 = 2\frac{125}{1000} = 2\frac{1}{8} = \frac{17}{8}$
Неравенство принимает вид:
$\frac{11}{5}x > -\frac{17}{8}$
Умножим обе части на $\frac{5}{11}$ (знак неравенства не меняется):
$x > -\frac{17}{8} \cdot \frac{5}{11}$
$x > -\frac{85}{88}$
Ответ: $x \in (-\frac{85}{88}; +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $12,5x - 5,125 < 2^{-3} - 4^{-1}x$.
Преобразуем все числа в обыкновенные дроби:
$12,5 = \frac{25}{2}$
$5,125 = 5\frac{125}{1000} = 5\frac{1}{8} = \frac{41}{8}$
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
$4^{-1} = \frac{1}{4}$
Подставим дроби в неравенство:
$\frac{25}{2}x - \frac{41}{8} < \frac{1}{8} - \frac{1}{4}x$
Перенесем слагаемые с $x$ влево, а постоянные — вправо:
$\frac{25}{2}x + \frac{1}{4}x < \frac{1}{8} + \frac{41}{8}$
Приведем к общему знаменателю слагаемые в левой части:
$\frac{50}{4}x + \frac{1}{4}x < \frac{42}{8}$
$\frac{51}{4}x < \frac{42}{8}$
Сократим дробь в правой части: $\frac{42}{8} = \frac{21}{4}$.
$\frac{51}{4}x < \frac{21}{4}$
Умножим обе части на 4:
$51x < 21$
Разделим на 51:
$x < \frac{21}{51}$
Сократим дробь на 3:
$x < \frac{7}{17}$
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{7}{17})$.

7.8. Докажите тождество:

1) $27^{-1}81^{2}(3^{-3})^{3} : 81^{-3} = 9^{4};$

2) $7^{-2}21^{2}(6^{-3})^{2} : 14^{-3} : 343 = 2^{-3}9^{-2};$

3) $4^{-1}8^{2}(a^{-3})^{3} : (8a^{-3})^{2} = 0,25a^{-3};$

4) $a^{-1}(ab)^{2}(b^{-3})^{3} : b^{-3} = ab^{-4}.$

1) Чтобы доказать тождество $27^{-1} \cdot 81^2 \cdot (3^{-3})^3 : 81^{-3} = 9^4$, преобразуем обе его части, представив все числа в виде степеней с основанием 3.
Преобразуем левую часть (ЛЧ):
$27 = 3^3$, $81 = 3^4$.
ЛЧ $= (3^3)^{-1} \cdot (3^4)^2 \cdot 3^{-3 \cdot 3} : (3^4)^{-3} = 3^{-3} \cdot 3^8 \cdot 3^{-9} : 3^{-12}$.
Используя свойства степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$, получим:
ЛЧ $= 3^{-3+8-9} : 3^{-12} = 3^{-4} : 3^{-12} = 3^{-4 - (-12)} = 3^{-4+12} = 3^8$.
Преобразуем правую часть (ПЧ):
ПЧ $= 9^4 = (3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8$.
Так как ЛЧ = ПЧ ($3^8 = 3^8$), тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество $7^{-2} \cdot 21^2 \cdot (6^{-3})^2 : 14^{-3} : 343 = 2^{-3} \cdot 9^{-2}$. Разложим составные числа на простые множители и преобразуем левую часть (ЛЧ).
$21=3 \cdot 7$, $6=2 \cdot 3$, $14=2 \cdot 7$, $343=7^3$.
ЛЧ $= 7^{-2} \cdot (3 \cdot 7)^2 \cdot ((2 \cdot 3)^{-3})^2 : (2 \cdot 7)^{-3} : 7^3 = 7^{-2} \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot (2^{-6} \cdot 3^{-6}) : (2^{-3} \cdot 7^{-3}) : 7^3$.
Сгруппируем множители и запишем выражение в виде дроби, учитывая, что $A : B : C = A / (B \cdot C)$:
ЛЧ $= \frac{7^{-2} \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot 2^{-6} \cdot 3^{-6}}{(2^{-3} \cdot 7^{-3}) \cdot 7^3} = \frac{7^{-2+2} \cdot 3^{2-6} \cdot 2^{-6}}{2^{-3} \cdot 7^{-3+3}} = \frac{7^0 \cdot 3^{-4} \cdot 2^{-6}}{2^{-3} \cdot 7^0} = \frac{3^{-4} \cdot 2^{-6}}{2^{-3}}$.
ЛЧ $= 3^{-4} \cdot 2^{-6 - (-3)} = 3^{-4} \cdot 2^{-3}$.
Теперь преобразуем правую часть (ПЧ):
ПЧ $= 2^{-3} \cdot 9^{-2} = 2^{-3} \cdot (3^2)^{-2} = 2^{-3} \cdot 3^{-4}$.
Так как ЛЧ = ПЧ, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

3) Докажем тождество $4^{-1} \cdot 8^2 \cdot (a^{-3})^3 : (8a^{-3})^2 = 0.25a^{-3}$. Преобразуем левую часть (ЛЧ). Представим числовые коэффициенты в виде степеней с основанием 2.
$4=2^2$, $8=2^3$.
ЛЧ $= (2^2)^{-1} \cdot (2^3)^2 \cdot a^{-3 \cdot 3} : (2^3 \cdot a^{-3})^2 = 2^{-2} \cdot 2^6 \cdot a^{-9} : ( (2^3)^2 \cdot (a^{-3})^2 ) = 2^{-2} \cdot 2^6 \cdot a^{-9} : (2^6 \cdot a^{-6})$.
Выполним действия со степенями:
ЛЧ $= (2^{-2+6} \cdot a^{-9}) : (2^6 \cdot a^{-6}) = (2^4 \cdot a^{-9}) : (2^6 \cdot a^{-6})$.
ЛЧ $= \frac{2^4 \cdot a^{-9}}{2^6 \cdot a^{-6}} = 2^{4-6} \cdot a^{-9 - (-6)} = 2^{-2} \cdot a^{-9+6} = 2^{-2}a^{-3}$.
Теперь преобразуем правую часть (ПЧ).
$0.25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
ПЧ $= 0.25a^{-3} = 2^{-2}a^{-3}$.
Так как ЛЧ = ПЧ, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

4) Докажем тождество $a^{-1} \cdot (ab)^2 \cdot (b^{-3})^3 : b^{-3} = ab^{-4}$. Преобразуем левую часть (ЛЧ), используя свойства степеней.
ЛЧ $= a^{-1} \cdot (a^2b^2) \cdot b^{-3 \cdot 3} : b^{-3} = a^{-1} \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot b^{-9} : b^{-3}$.
Выполним умножение степеней с одинаковыми основаниями:
ЛЧ $= a^{-1+2} \cdot b^{2+(-9)} : b^{-3} = a^1 \cdot b^{-7} : b^{-3}$.
Теперь выполним деление:
ЛЧ $= a^1 \cdot b^{-7 - (-3)} = a^1 \cdot b^{-7+3} = a^1b^{-4} = ab^{-4}$.
Правая часть (ПЧ) равна $ab^{-4}$.
Так как ЛЧ = ПЧ, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

Сравните значения выражений (7.9–7.10):

7.9. 1) $128^{-2} \cdot 32^3$ и $(6^3)^2 : 36^5$;

2) $\frac{8^{-3} \cdot 2^5}{16^{-4}}$ и $\frac{(3^{-3})^3 \cdot 9^7 \cdot 2^{-2}}{81^2}$.

1) Сравним значения выражений $128^{-2} \cdot 32^3$ и $(6^3)^2 : 36^5$.
Сначала упростим первое выражение. Для этого представим числа 128 и 32 в виде степеней с основанием 2, так как $128 = 2^7$ и $32 = 2^5$.
$128^{-2} \cdot 32^3 = (2^7)^{-2} \cdot (2^5)^3$
Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$2^{7 \cdot (-2)} \cdot 2^{5 \cdot 3} = 2^{-14} \cdot 2^{15}$
Далее, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, находим:
$2^{-14 + 15} = 2^1 = 2$.
Теперь упростим второе выражение $(6^3)^2 : 36^5$. Представим число 36 в виде степени с основанием 6: $36 = 6^2$.
$(6^3)^2 : (6^2)^5$
Применяем свойство возведения степени в степень:
$6^{3 \cdot 2} : 6^{2 \cdot 5} = 6^6 : 6^{10}$
Применяем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$6^{6-10} = 6^{-4} = \frac{1}{6^4} = \frac{1}{1296}$.
Теперь сравним полученные значения: $2$ и $\frac{1}{1296}$.
Очевидно, что $2 > \frac{1}{1296}$.
Следовательно, $128^{-2} \cdot 32^3 > (6^3)^2 : 36^5$.
Ответ: $128^{-2} \cdot 32^3 > (6^3)^2 : 36^5$.

2) Сравним значения выражений $\frac{8^{-3} \cdot 2^5}{16^{-4}}$ и $\frac{(3^{-3})^3 \cdot 9^7 \cdot 2^{-2}}{81^2}$.
Упростим первое выражение. Для этого приведем все основания к числу 2: $8 = 2^3$, $16 = 2^4$.
$\frac{8^{-3} \cdot 2^5}{16^{-4}} = \frac{(2^3)^{-3} \cdot 2^5}{(2^4)^{-4}} = \frac{2^{-9} \cdot 2^5}{2^{-16}}$
В числителе применим правило умножения степеней, а затем правило деления степеней:
$\frac{2^{-9+5}}{2^{-16}} = \frac{2^{-4}}{2^{-16}} = 2^{-4 - (-16)} = 2^{-4+16} = 2^{12}$.
Теперь упростим второе выражение. Приведем основания 9 и 81 к основанию 3: $9=3^2$, $81=3^4$.
$\frac{(3^{-3})^3 \cdot 9^7 \cdot 2^{-2}}{81^2} = \frac{(3^{-3})^3 \cdot (3^2)^7 \cdot 2^{-2}}{(3^4)^2} = \frac{3^{-9} \cdot 3^{14} \cdot 2^{-2}}{3^8}$
Упростим степени с основанием 3:
$\frac{3^{-9+14} \cdot 2^{-2}}{3^8} = \frac{3^5 \cdot 2^{-2}}{3^8} = 3^{5-8} \cdot 2^{-2} = 3^{-3} \cdot 2^{-2}$
Вычислим значение этого выражения:
$3^{-3} \cdot 2^{-2} = \frac{1}{3^3} \cdot \frac{1}{2^2} = \frac{1}{27} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{108}$.
Теперь сравним полученные значения: $2^{12}$ и $\frac{1}{108}$.
$2^{12} = 4096$. Так как $4096 > \frac{1}{108}$, то и исходные выражения находятся в таком же соотношении.
Ответ: $\frac{8^{-3} \cdot 2^5}{16^{-4}} > \frac{(3^{-3})^3 \cdot 9^7 \cdot 2^{-2}}{81^2}$.

7.10.

1) $13^0 \cdot 3^{-3} : 2^3$ и $10^2 \cdot 5^{-2} : 2^3$;

2) $\frac{14^0 \cdot 3^2 : 4^{-2}}{2 \cdot 3^3}$ и $\frac{21^3 \cdot 9^{-2}}{7^3}$.

1) Сравним значения двух выражений: $13^0 \cdot 3^{-3} : 2^3$ и $10^2 \cdot 5^{-2} : 2^3$.

Для этого вычислим значение каждого из них.

Первое выражение:

Используем свойства степеней: любое число в нулевой степени равно 1 ($a^0=1$), а отрицательная степень означает обратную величину ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$).

$13^0 \cdot 3^{-3} : 2^3 = 1 \cdot \frac{1}{3^3} : 2^3 = \frac{1}{27} : 8 = \frac{1}{27 \cdot 8} = \frac{1}{216}$.

Второе выражение:

Можно вычислить напрямую или упростить, используя свойства степеней.

$10^2 \cdot 5^{-2} : 2^3 = (2 \cdot 5)^2 \cdot 5^{-2} : 2^3 = (2^2 \cdot 5^2) \cdot 5^{-2} : 2^3 = 2^2 \cdot (5^2 \cdot 5^{-2}) : 2^3$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), а при делении вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$).

$2^2 \cdot 5^{2+(-2)} : 2^3 = 2^2 \cdot 5^0 : 2^3 = 2^2 \cdot 1 : 2^3 = 2^{2-3} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.

Теперь сравним полученные результаты: $\frac{1}{216}$ и $\frac{1}{2}$.

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $216 > 2$, то $\frac{1}{216} < \frac{1}{2}$.

Ответ: $13^0 \cdot 3^{-3} : 2^3 < 10^2 \cdot 5^{-2} : 2^3$.

2) Сравним значения двух выражений: $\frac{14^0 \cdot 3^2 : 4^{-2}}{2 \cdot 3^3}$ и $\frac{21^3 \cdot 9^{-2}}{7^3}$.

Вычислим значение первого выражения:

$\frac{14^0 \cdot 3^2 : 4^{-2}}{2 \cdot 3^3} = \frac{1 \cdot 9 : \frac{1}{4^2}}{2 \cdot 27} = \frac{9 : \frac{1}{16}}{54} = \frac{9 \cdot 16}{54} = \frac{144}{54}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 18.

$\frac{144 : 18}{54 : 18} = \frac{8}{3}$.

Вычислим значение второго выражения, разложив основания степеней на простые множители:

$\frac{21^3 \cdot 9^{-2}}{7^3} = \frac{(3 \cdot 7)^3 \cdot (3^2)^{-2}}{7^3} = \frac{3^3 \cdot 7^3 \cdot 3^{2 \cdot (-2)}}{7^3} = \frac{3^3 \cdot 7^3 \cdot 3^{-4}}{7^3}$.

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и выполним действия с показателями:

$\frac{(3^3 \cdot 3^{-4}) \cdot 7^3}{7^3} = \frac{3^{3-4} \cdot 7^3}{7^3} = 3^{-1} \cdot \frac{7^3}{7^3} = 3^{-1} \cdot 1 = \frac{1}{3}$.

Теперь сравним полученные результаты: $\frac{8}{3}$ и $\frac{1}{3}$.

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше. Так как $8 > 1$, то $\frac{8}{3} > \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{14^0 \cdot 3^2 : 4^{-2}}{2 \cdot 3^3} > \frac{21^3 \cdot 9^{-2}}{7^3}$.

7.11. Представьте в виде степени и найдите значение выражения:

1) $125(5a^{-3}b^3)^{-2} a^{-2}b^4$ при $a=0,2, b=0,5;$

2) $(0,5a^{-2})^{-2} : (32a^5b^2)^3$ при $a=(0,5)^{-4}, b=0,25;$

3) $(2^3a^{-3}b)^{-1} \cdot 64a^{-4} : a^{-5}$ при $a=-0,125, b=0,5;$

4) $27(-3^2a^3) : (3^5a^{-1}b^{-2})^3$ при $a=-0,1, b=0,1.$

1)

Сначала упростим данное выражение, используя свойства степеней:

$125(5a^{-3}b^3)^{-2} a^{-2}b^4 = 5^3 \cdot 5^{-2}(a^{-3})^{-2}(b^3)^{-2} \cdot a^{-2}b^4 = 5^3 \cdot 5^{-2}a^6b^{-6} \cdot a^{-2}b^4$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$(5^3 \cdot 5^{-2}) \cdot (a^6 \cdot a^{-2}) \cdot (b^{-6} \cdot b^4) = 5^{3-2}a^{6-2}b^{-6+4} = 5a^4b^{-2}$.

Теперь подставим заданные значения $a = 0,2$ и $b = 0,5$. Для удобства вычислений представим их в виде обыкновенных дробей и степеней:

$a = 0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$

$b = 0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$

Подставим эти значения в упрощенное выражение:

$5a^4b^{-2} = 5 \cdot (5^{-1})^4 \cdot (2^{-1})^{-2} = 5^1 \cdot 5^{-4} \cdot 2^2 = 5^{1-4} \cdot 4 = 5^{-3} \cdot 4 = \frac{4}{5^3} = \frac{4}{125}$.

Ответ: $\frac{4}{125}$

2)

Упростим выражение $(0,5a^{-2})^{-2} : (32a^5b^2)^3$.

Представим числовые коэффициенты в виде степеней числа 2: $0,5 = 2^{-1}$ и $32 = 2^5$.

Раскроем скобки в делимом и делителе:

$(2^{-1}a^{-2})^{-2} = (2^{-1})^{-2}(a^{-2})^{-2} = 2^2a^4$

$(2^5a^5b^2)^3 = (2^5)^3(a^5)^3(b^2)^3 = 2^{15}a^{15}b^6$

Выполним деление:

$\frac{2^2a^4}{2^{15}a^{15}b^6} = 2^{2-15}a^{4-15}b^{-6} = 2^{-13}a^{-11}b^{-6}$.

Теперь подставим значения $a = (0,5)^{-4}$ и $b = 0,25$. Представим их также в виде степеней числа 2:

$a = (0,5)^{-4} = (2^{-1})^{-4} = 2^4$

$b = 0,25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$

Подставим эти значения в упрощенное выражение:

$2^{-13}a^{-11}b^{-6} = 2^{-13}(2^4)^{-11}(2^{-2})^{-6} = 2^{-13} \cdot 2^{-44} \cdot 2^{12} = 2^{-13-44+12} = 2^{-45}$.

Ответ: $2^{-45}$

3)

Упростим выражение $(2^3a^{-3}b)^{-1} \cdot 64a^{-4} : a^{-5}$.

Представим $64$ как $2^6$ и выполним действия по порядку.

Раскрытие скобок: $(2^3a^{-3}b)^{-1} = 2^{-3}a^3b^{-1}$.

Умножение: $(2^{-3}a^3b^{-1}) \cdot (2^6a^{-4}) = (2^{-3} \cdot 2^6)(a^3 \cdot a^{-4})b^{-1} = 2^3a^{-1}b^{-1}$.

Деление: $(2^3a^{-1}b^{-1}) : a^{-5} = 2^3a^{-1-(-5)}b^{-1} = 8a^4b^{-1}$.

Подставим значения $a = -0,125$ и $b = 0,5$. Представим их в виде степеней:

$a = -0,125 = -\frac{1}{8} = -2^{-3}$

$b = 0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$

Вычислим значение:

$8a^4b^{-1} = 8 \cdot (-2^{-3})^4 \cdot (2^{-1})^{-1} = 2^3 \cdot ((-1)^4 \cdot (2^{-3})^4) \cdot 2^1 = 2^3 \cdot 2^{-12} \cdot 2^1 = 2^{3-12+1} = 2^{-8} = \frac{1}{256}$.

Ответ: $\frac{1}{256}$

4)

Упростим выражение $27(-3^2a^3) : (3^5a^{-1}b^{-2})^3$.

Учитываем, что $27=3^3$ и $-3^2=-(3^2)=-9$.

Упростим делимое: $27(-3^2a^3) = 3^3 \cdot (-1 \cdot 3^2 \cdot a^3) = -3^{3+2}a^3 = -3^5a^3$.

Упростим делитель: $(3^5a^{-1}b^{-2})^3 = 3^{15}a^{-3}b^{-6}$.

Выполним деление:

$\frac{-3^5a^3}{3^{15}a^{-3}b^{-6}} = -3^{5-15}a^{3-(-3)}b^{-(-6)} = -3^{-10}a^6b^6$.

Выражение можно записать как $-3^{-10}(ab)^6$.

Подставим значения $a=-0,1$ и $b=0,1$.

Найдем произведение $ab$: $ab = -0,1 \cdot 0,1 = -0,01 = -10^{-2}$.

Вычислим значение выражения:

$-3^{-10}(ab)^6 = -3^{-10}(-10^{-2})^6 = -3^{-10} \cdot ((-1)^6 \cdot (10^{-2})^6) = -3^{-10} \cdot 10^{-12}$.

Ответ: $-3^{-10} \cdot 10^{-12}$

7.12. Решите уравнение:

1) $7^{-2}x = 21 + 3^{-1};$

2) $0,01 \cdot 10^3x + 5^2 - x = 2 \cdot 5^2;$

3) $\frac{3 \cdot 3^{-2}}{6^{-2}} x = 2^2 \cdot 3;$

4) $\frac{5^3 \cdot 3^3}{12^0 \cdot 15^3} \cdot 2^x = 10^{-1}.$

1)Решим уравнение $7^{-2}x = 21 + 3^{-1}$.
Сначала вычислим значения степеней с отрицательным показателем. По определению $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$
$3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$
Подставим эти значения обратно в уравнение:
$\frac{1}{49}x = 21 + \frac{1}{3}$
Теперь сложим числа в правой части, приведя их к общему знаменателю:
$21 + \frac{1}{3} = \frac{21 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{63}{3} + \frac{1}{3} = \frac{64}{3}$
Уравнение принимает вид:
$\frac{1}{49}x = \frac{64}{3}$
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 49:
$x = \frac{64}{3} \cdot 49$
$x = \frac{3136}{3}$
Можно представить ответ в виде смешанного числа: $x = 1045\frac{1}{3}$.
Ответ: $x = \frac{3136}{3}$.

2)Решим уравнение $0,01 \cdot 10^{3}x + 5^2 - x = 2 \cdot 5^2$.
Сначала упростим коэффициенты и свободные члены:
$0,01 \cdot 10^3 = \frac{1}{100} \cdot 1000 = 10$
$5^2 = 25$
Подставим упрощенные значения в уравнение:
$10x + 25 - x = 2 \cdot 25$
$10x + 25 - x = 50$
Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а числовые значения перенесем в правую:
$10x - x = 50 - 25$
$9x = 25$
Разделим обе части уравнения на 9, чтобы найти $x$:
$x = \frac{25}{9}$
Можно представить ответ в виде смешанного числа: $x = 2\frac{7}{9}$.
Ответ: $x = \frac{25}{9}$.

3)Решим уравнение $\frac{3 \cdot 3^{-2}}{6^{-2}} x = 2^2 \cdot 3$.
Упростим выражение в левой части. Воспользуемся свойствами степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $(ab)^n = a^n b^n$:
В числителе: $3 \cdot 3^{-2} = 3^1 \cdot 3^{-2} = 3^{1-2} = 3^{-1}$.
Весь коэффициент при $x$ можно преобразовать так:
$\frac{3^{-1}}{6^{-2}} = \frac{3^{-1}}{(2 \cdot 3)^{-2}} = \frac{3^{-1}}{2^{-2} \cdot 3^{-2}} = 3^{-1 - (-2)} \cdot 2^{-(-2)} = 3^{1} \cdot 2^{2} = 3 \cdot 4 = 12$
Теперь упростим правую часть уравнения:
$2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$
Уравнение принимает вид:
$12x = 12$
Разделим обе части на 12:
$x = \frac{12}{12} = 1$
Ответ: $x = 1$.

4)Решим уравнение $\frac{5^3 \cdot 3^3}{12^0 \cdot 15^3 \cdot 2} x = 10^{-1}$.
Упростим коэффициент при $x$. Используем свойства степеней $a^n \cdot b^n = (ab)^n$ и $a^0=1$ (для $a \neq 0$):
В числителе дроби: $5^3 \cdot 3^3 = (5 \cdot 3)^3 = 15^3$.
В знаменателе дроби: $12^0 = 1$. Знаменатель равен $1 \cdot 15^3 \cdot 2 = 2 \cdot 15^3$.
Таким образом, коэффициент при $x$ равен:
$\frac{15^3}{2 \cdot 15^3} = \frac{1}{2}$ (сократили на $15^3$).
Упростим правую часть уравнения:
$10^{-1} = \frac{1}{10}$
Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{1}{2}x = \frac{1}{10}$
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{1}{10} \cdot 2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Можно представить ответ в виде десятичной дроби: $x = 0,2$.
Ответ: $x = \frac{1}{5}$.