Номер 7.8, страница 59 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.8. Докажите тождество:

1) $27^{-1}81^{2}(3^{-3})^{3} : 81^{-3} = 9^{4};$

2) $7^{-2}21^{2}(6^{-3})^{2} : 14^{-3} : 343 = 2^{-3}9^{-2};$

3) $4^{-1}8^{2}(a^{-3})^{3} : (8a^{-3})^{2} = 0,25a^{-3};$

4) $a^{-1}(ab)^{2}(b^{-3})^{3} : b^{-3} = ab^{-4}.$

1) Чтобы доказать тождество $27^{-1} \cdot 81^2 \cdot (3^{-3})^3 : 81^{-3} = 9^4$, преобразуем обе его части, представив все числа в виде степеней с основанием 3.
Преобразуем левую часть (ЛЧ):
$27 = 3^3$, $81 = 3^4$.
ЛЧ $= (3^3)^{-1} \cdot (3^4)^2 \cdot 3^{-3 \cdot 3} : (3^4)^{-3} = 3^{-3} \cdot 3^8 \cdot 3^{-9} : 3^{-12}$.
Используя свойства степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$, получим:
ЛЧ $= 3^{-3+8-9} : 3^{-12} = 3^{-4} : 3^{-12} = 3^{-4 - (-12)} = 3^{-4+12} = 3^8$.
Преобразуем правую часть (ПЧ):
ПЧ $= 9^4 = (3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8$.
Так как ЛЧ = ПЧ ($3^8 = 3^8$), тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество $7^{-2} \cdot 21^2 \cdot (6^{-3})^2 : 14^{-3} : 343 = 2^{-3} \cdot 9^{-2}$. Разложим составные числа на простые множители и преобразуем левую часть (ЛЧ).
$21=3 \cdot 7$, $6=2 \cdot 3$, $14=2 \cdot 7$, $343=7^3$.
ЛЧ $= 7^{-2} \cdot (3 \cdot 7)^2 \cdot ((2 \cdot 3)^{-3})^2 : (2 \cdot 7)^{-3} : 7^3 = 7^{-2} \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot (2^{-6} \cdot 3^{-6}) : (2^{-3} \cdot 7^{-3}) : 7^3$.
Сгруппируем множители и запишем выражение в виде дроби, учитывая, что $A : B : C = A / (B \cdot C)$:
ЛЧ $= \frac{7^{-2} \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot 2^{-6} \cdot 3^{-6}}{(2^{-3} \cdot 7^{-3}) \cdot 7^3} = \frac{7^{-2+2} \cdot 3^{2-6} \cdot 2^{-6}}{2^{-3} \cdot 7^{-3+3}} = \frac{7^0 \cdot 3^{-4} \cdot 2^{-6}}{2^{-3} \cdot 7^0} = \frac{3^{-4} \cdot 2^{-6}}{2^{-3}}$.
ЛЧ $= 3^{-4} \cdot 2^{-6 - (-3)} = 3^{-4} \cdot 2^{-3}$.
Теперь преобразуем правую часть (ПЧ):
ПЧ $= 2^{-3} \cdot 9^{-2} = 2^{-3} \cdot (3^2)^{-2} = 2^{-3} \cdot 3^{-4}$.
Так как ЛЧ = ПЧ, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

3) Докажем тождество $4^{-1} \cdot 8^2 \cdot (a^{-3})^3 : (8a^{-3})^2 = 0.25a^{-3}$. Преобразуем левую часть (ЛЧ). Представим числовые коэффициенты в виде степеней с основанием 2.
$4=2^2$, $8=2^3$.
ЛЧ $= (2^2)^{-1} \cdot (2^3)^2 \cdot a^{-3 \cdot 3} : (2^3 \cdot a^{-3})^2 = 2^{-2} \cdot 2^6 \cdot a^{-9} : ( (2^3)^2 \cdot (a^{-3})^2 ) = 2^{-2} \cdot 2^6 \cdot a^{-9} : (2^6 \cdot a^{-6})$.
Выполним действия со степенями:
ЛЧ $= (2^{-2+6} \cdot a^{-9}) : (2^6 \cdot a^{-6}) = (2^4 \cdot a^{-9}) : (2^6 \cdot a^{-6})$.
ЛЧ $= \frac{2^4 \cdot a^{-9}}{2^6 \cdot a^{-6}} = 2^{4-6} \cdot a^{-9 - (-6)} = 2^{-2} \cdot a^{-9+6} = 2^{-2}a^{-3}$.
Теперь преобразуем правую часть (ПЧ).
$0.25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
ПЧ $= 0.25a^{-3} = 2^{-2}a^{-3}$.
Так как ЛЧ = ПЧ, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

4) Докажем тождество $a^{-1} \cdot (ab)^2 \cdot (b^{-3})^3 : b^{-3} = ab^{-4}$. Преобразуем левую часть (ЛЧ), используя свойства степеней.
ЛЧ $= a^{-1} \cdot (a^2b^2) \cdot b^{-3 \cdot 3} : b^{-3} = a^{-1} \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot b^{-9} : b^{-3}$.
Выполним умножение степеней с одинаковыми основаниями:
ЛЧ $= a^{-1+2} \cdot b^{2+(-9)} : b^{-3} = a^1 \cdot b^{-7} : b^{-3}$.
Теперь выполним деление:
ЛЧ $= a^1 \cdot b^{-7 - (-3)} = a^1 \cdot b^{-7+3} = a^1b^{-4} = ab^{-4}$.
Правая часть (ПЧ) равна $ab^{-4}$.
Так как ЛЧ = ПЧ, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.