Номер 7.13, страница 60 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.13. Найдите наименьшее целое число, которое удовлетворяет неравенству:

1) $8^{-2x} \ge 24,75 + 4^{-1}$;

2) $6^2 - x \ge -4^2 \cdot x + 5^{-1}$;

3) $3^{-1x} \ge 15^{-1} - 2x$.

1) Решим неравенство $8^{-2}x \ge 24,75 + 4^{-1}$.

Сначала преобразуем все числовые значения в неравенстве. Степень с отрицательным показателем $8^{-2}$ равна $\frac{1}{8^2} = \frac{1}{64}$. Десятичную дробь $24,75$ представим в виде обыкновенной дроби: $24,75 = 24\frac{75}{100} = 24\frac{3}{4} = \frac{24 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{99}{4}$. Степень $4^{-1}$ равна $\frac{1}{4}$.

Теперь подставим полученные значения в исходное неравенство:

$\frac{1}{64}x \ge \frac{99}{4} + \frac{1}{4}$

Сложим дроби в правой части неравенства:

$\frac{1}{64}x \ge \frac{100}{4}$

$\frac{1}{64}x \ge 25$

Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на 64. Так как 64 — положительное число, знак неравенства не изменится.

$x \ge 25 \cdot 64$

$x \ge 1600$

Неравенству удовлетворяют все числа, которые больше или равны 1600. Наименьшее целое число из этого множества — это 1600.

Ответ: 1600.

2) Решим неравенство $6^2 - x \ge -4^2 \cdot x + 5^{-1}$.

Вычислим значения степеней: $6^2 = 36$. Важно отметить, что в выражении $-4^2$ в квадрат возводится только число 4, поэтому $-4^2 = -16$. Степень $5^{-1} = \frac{1}{5}$.

Подставим вычисленные значения в неравенство:

$36 - x \ge -16x + \frac{1}{5}$

Перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а постоянные члены — в правую. При переносе слагаемого через знак неравенства его знак меняется на противоположный.

$-x + 16x \ge \frac{1}{5} - 36$

$15x \ge \frac{1}{5} - \frac{180}{5}$

$15x \ge -\frac{179}{5}$

Разделим обе части неравенства на 15. Так как 15 > 0, знак неравенства сохраняется.

$x \ge -\frac{179}{5 \cdot 15}$

$x \ge -\frac{179}{75}$

Чтобы найти наименьшее целое решение, представим дробь в виде смешанного числа: $-\frac{179}{75} = -2\frac{29}{75}$.

Итак, $x \ge -2\frac{29}{75}$. Наименьшее целое число, которое удовлетворяет этому условию, — это -2.

Ответ: -2.

3) Решим неравенство $3^{-1}x \ge 15^{-1} - 2x$.

Сначала вычислим значения степеней с отрицательным показателем: $3^{-1} = \frac{1}{3}$ и $15^{-1} = \frac{1}{15}$.

Подставим эти значения в неравенство:

$\frac{1}{3}x \ge \frac{1}{15} - 2x$

Перенесем слагаемое $-2x$ из правой части в левую, изменив его знак:

$\frac{1}{3}x + 2x \ge \frac{1}{15}$

Приведем слагаемые в левой части к общему знаменателю:

$\frac{1}{3}x + \frac{6}{3}x \ge \frac{1}{15}$

$\frac{7}{3}x \ge \frac{1}{15}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на $\frac{3}{7}$. Так как это число положительное, знак неравенства не меняется.

$x \ge \frac{1}{15} \cdot \frac{3}{7}$

$x \ge \frac{3}{105}$

Сократим дробь в правой части:

$x \ge \frac{1}{35}$

Мы ищем наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству $x \ge \frac{1}{35}$. Так как $\frac{1}{35}$ является положительным числом, меньшим единицы ($0 < \frac{1}{35} < 1$), наименьшее целое число, которое больше или равно $\frac{1}{35}$, это 1.

Ответ: 1.