Номер 7.16, страница 60 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.16.

1) $\left(\frac{8x^{-2}}{y^{-3}}\right)^3 \cdot \left(\frac{2^{-4}}{x^{-2}y^2}\right)^3 = 0,125y^3;$

2) $\frac{3^3 : 27}{17^0 \cdot a^{-2}} \cdot a^3 = \frac{a^2}{a^{-3}};$

3) $\frac{5^3 : 75}{19^0 \cdot b^{-2}} \cdot b = \frac{5}{3b^{-3}}.$

1) $(\frac{8x^{-2}}{y^{-3}})^3 \cdot (\frac{2^{-4}}{x^{-2}y^2})^3 = 0,125y^3$

Докажем, что левая часть тождества равна правой. Для этого упростим выражение в левой части. Так как оба сомножителя возводятся в одну и ту же степень, мы можем сначала перемножить основания, а затем возвести результат в степень, используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$(\frac{8x^{-2}}{y^{-3}} \cdot \frac{2^{-4}}{x^{-2}y^2})^3$

Выполним умножение дробей внутри скобок:

$(\frac{8x^{-2} \cdot 2^{-4}}{y^{-3} \cdot x^{-2}y^2})^3$

Сократим $x^{-2}$ в числителе и знаменателе. В числителе представим $8$ как $2^3$ и применим свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В знаменателе применим то же свойство для переменной $y$:

$(\frac{2^3 \cdot 2^{-4}}{y^{-3}y^2})^3 = (\frac{2^{3-4}}{y^{-3+2}})^3 = (\frac{2^{-1}}{y^{-1}})^3$

Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = 1/a^n$ или $\frac{a^{-m}}{b^{-n}} = \frac{b^n}{a^m}$:

$(\frac{y^1}{2^1})^3 = (\frac{y}{2})^3$

Возведем дробь в куб, используя свойство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:

$\frac{y^3}{2^3} = \frac{y^3}{8}$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную: $1/8 = 0,125$.

$\frac{1}{8}y^3 = 0,125y^3$

Левая часть равна $0,125y^3$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Выражение является верным тождеством.

2) $\frac{3^3 : 27}{17^0 \cdot a^{-2}} \cdot a^3 = \frac{a^2}{a^{-3}}$

Упростим левую и правую части тождества по отдельности, чтобы проверить их равенство.

Левая часть: $\frac{3^3 : 27}{17^0 \cdot a^{-2}} \cdot a^3$

Вычислим значения в числителе и знаменателе дроби:

$3^3 = 27$, поэтому $3^3 : 27 = 27 : 27 = 1$.

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, поэтому $17^0 = 1$.

Подставим эти значения в выражение:

$\frac{1}{1 \cdot a^{-2}} \cdot a^3 = \frac{1}{a^{-2}} \cdot a^3$

Используя свойство $1/a^{-n} = a^n$, получаем:

$a^2 \cdot a^3$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

$a^{2+3} = a^5$

Правая часть: $\frac{a^2}{a^{-3}}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $a^m / a^n = a^{m-n}$

$a^{2 - (-3)} = a^{2+3} = a^5$

Левая часть ($a^5$) равна правой части ($a^5$). Тождество доказано.

Ответ: Выражение является верным тождеством.

3) $\frac{5^3 : 75}{19^0 \cdot b^{-2}} \cdot b = \frac{5}{3b^{-3}}$

Упростим левую и правую части тождества по отдельности для проверки их равенства.

Левая часть: $\frac{5^3 : 75}{19^0 \cdot b^{-2}} \cdot b$

Вычислим значения в числителе и знаменателе дроби:

$5^3 = 125$. Тогда $5^3 : 75 = 125 : 75$. Сократим эту дробь:

$\frac{125}{75} = \frac{5 \cdot 25}{3 \cdot 25} = \frac{5}{3}$

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, поэтому $19^0 = 1$.

Подставим полученные значения в выражение:

$\frac{5/3}{1 \cdot b^{-2}} \cdot b = \frac{5/3}{b^{-2}} \cdot b$

Упростим дробь, используя свойство $1/b^{-n} = b^n$:

$\frac{5}{3} \cdot b^2 \cdot b$

Перемножим степени переменной $b$, используя правило $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$:

$\frac{5}{3} \cdot b^{2+1} = \frac{5}{3}b^3$

Правая часть: $\frac{5}{3b^{-3}}$

Используем свойство $1/b^{-n} = b^n$:

$\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{b^{-3}} = \frac{5}{3} \cdot b^3 = \frac{5b^3}{3}$

Левая часть ($\frac{5b^3}{3}$) равна правой части ($\frac{5b^3}{3}$). Тождество доказано.

Ответ: Выражение является верным тождеством.