Номер 7.10, страница 59 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.10.

1) $13^0 \cdot 3^{-3} : 2^3$ и $10^2 \cdot 5^{-2} : 2^3$;

2) $\frac{14^0 \cdot 3^2 : 4^{-2}}{2 \cdot 3^3}$ и $\frac{21^3 \cdot 9^{-2}}{7^3}$.

1) Сравним значения двух выражений: $13^0 \cdot 3^{-3} : 2^3$ и $10^2 \cdot 5^{-2} : 2^3$.

Для этого вычислим значение каждого из них.

Первое выражение:

Используем свойства степеней: любое число в нулевой степени равно 1 ($a^0=1$), а отрицательная степень означает обратную величину ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$).

$13^0 \cdot 3^{-3} : 2^3 = 1 \cdot \frac{1}{3^3} : 2^3 = \frac{1}{27} : 8 = \frac{1}{27 \cdot 8} = \frac{1}{216}$.

Второе выражение:

Можно вычислить напрямую или упростить, используя свойства степеней.

$10^2 \cdot 5^{-2} : 2^3 = (2 \cdot 5)^2 \cdot 5^{-2} : 2^3 = (2^2 \cdot 5^2) \cdot 5^{-2} : 2^3 = 2^2 \cdot (5^2 \cdot 5^{-2}) : 2^3$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), а при делении вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$).

$2^2 \cdot 5^{2+(-2)} : 2^3 = 2^2 \cdot 5^0 : 2^3 = 2^2 \cdot 1 : 2^3 = 2^{2-3} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.

Теперь сравним полученные результаты: $\frac{1}{216}$ и $\frac{1}{2}$.

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $216 > 2$, то $\frac{1}{216} < \frac{1}{2}$.

Ответ: $13^0 \cdot 3^{-3} : 2^3 < 10^2 \cdot 5^{-2} : 2^3$.

2) Сравним значения двух выражений: $\frac{14^0 \cdot 3^2 : 4^{-2}}{2 \cdot 3^3}$ и $\frac{21^3 \cdot 9^{-2}}{7^3}$.

Вычислим значение первого выражения:

$\frac{14^0 \cdot 3^2 : 4^{-2}}{2 \cdot 3^3} = \frac{1 \cdot 9 : \frac{1}{4^2}}{2 \cdot 27} = \frac{9 : \frac{1}{16}}{54} = \frac{9 \cdot 16}{54} = \frac{144}{54}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 18.

$\frac{144 : 18}{54 : 18} = \frac{8}{3}$.

Вычислим значение второго выражения, разложив основания степеней на простые множители:

$\frac{21^3 \cdot 9^{-2}}{7^3} = \frac{(3 \cdot 7)^3 \cdot (3^2)^{-2}}{7^3} = \frac{3^3 \cdot 7^3 \cdot 3^{2 \cdot (-2)}}{7^3} = \frac{3^3 \cdot 7^3 \cdot 3^{-4}}{7^3}$.

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и выполним действия с показателями:

$\frac{(3^3 \cdot 3^{-4}) \cdot 7^3}{7^3} = \frac{3^{3-4} \cdot 7^3}{7^3} = 3^{-1} \cdot \frac{7^3}{7^3} = 3^{-1} \cdot 1 = \frac{1}{3}$.

Теперь сравним полученные результаты: $\frac{8}{3}$ и $\frac{1}{3}$.

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше. Так как $8 > 1$, то $\frac{8}{3} > \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{14^0 \cdot 3^2 : 4^{-2}}{2 \cdot 3^3} > \frac{21^3 \cdot 9^{-2}}{7^3}$.