Номер 7.9, страница 59 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Сравните значения выражений (7.9–7.10):

7.9. 1) $128^{-2} \cdot 32^3$ и $(6^3)^2 : 36^5$;

2) $\frac{8^{-3} \cdot 2^5}{16^{-4}}$ и $\frac{(3^{-3})^3 \cdot 9^7 \cdot 2^{-2}}{81^2}$.

1) Сравним значения выражений $128^{-2} \cdot 32^3$ и $(6^3)^2 : 36^5$.
Сначала упростим первое выражение. Для этого представим числа 128 и 32 в виде степеней с основанием 2, так как $128 = 2^7$ и $32 = 2^5$.
$128^{-2} \cdot 32^3 = (2^7)^{-2} \cdot (2^5)^3$
Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$2^{7 \cdot (-2)} \cdot 2^{5 \cdot 3} = 2^{-14} \cdot 2^{15}$
Далее, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, находим:
$2^{-14 + 15} = 2^1 = 2$.
Теперь упростим второе выражение $(6^3)^2 : 36^5$. Представим число 36 в виде степени с основанием 6: $36 = 6^2$.
$(6^3)^2 : (6^2)^5$
Применяем свойство возведения степени в степень:
$6^{3 \cdot 2} : 6^{2 \cdot 5} = 6^6 : 6^{10}$
Применяем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$6^{6-10} = 6^{-4} = \frac{1}{6^4} = \frac{1}{1296}$.
Теперь сравним полученные значения: $2$ и $\frac{1}{1296}$.
Очевидно, что $2 > \frac{1}{1296}$.
Следовательно, $128^{-2} \cdot 32^3 > (6^3)^2 : 36^5$.
Ответ: $128^{-2} \cdot 32^3 > (6^3)^2 : 36^5$.

2) Сравним значения выражений $\frac{8^{-3} \cdot 2^5}{16^{-4}}$ и $\frac{(3^{-3})^3 \cdot 9^7 \cdot 2^{-2}}{81^2}$.
Упростим первое выражение. Для этого приведем все основания к числу 2: $8 = 2^3$, $16 = 2^4$.
$\frac{8^{-3} \cdot 2^5}{16^{-4}} = \frac{(2^3)^{-3} \cdot 2^5}{(2^4)^{-4}} = \frac{2^{-9} \cdot 2^5}{2^{-16}}$
В числителе применим правило умножения степеней, а затем правило деления степеней:
$\frac{2^{-9+5}}{2^{-16}} = \frac{2^{-4}}{2^{-16}} = 2^{-4 - (-16)} = 2^{-4+16} = 2^{12}$.
Теперь упростим второе выражение. Приведем основания 9 и 81 к основанию 3: $9=3^2$, $81=3^4$.
$\frac{(3^{-3})^3 \cdot 9^7 \cdot 2^{-2}}{81^2} = \frac{(3^{-3})^3 \cdot (3^2)^7 \cdot 2^{-2}}{(3^4)^2} = \frac{3^{-9} \cdot 3^{14} \cdot 2^{-2}}{3^8}$
Упростим степени с основанием 3:
$\frac{3^{-9+14} \cdot 2^{-2}}{3^8} = \frac{3^5 \cdot 2^{-2}}{3^8} = 3^{5-8} \cdot 2^{-2} = 3^{-3} \cdot 2^{-2}$
Вычислим значение этого выражения:
$3^{-3} \cdot 2^{-2} = \frac{1}{3^3} \cdot \frac{1}{2^2} = \frac{1}{27} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{108}$.
Теперь сравним полученные значения: $2^{12}$ и $\frac{1}{108}$.
$2^{12} = 4096$. Так как $4096 > \frac{1}{108}$, то и исходные выражения находятся в таком же соотношении.
Ответ: $\frac{8^{-3} \cdot 2^5}{16^{-4}} > \frac{(3^{-3})^3 \cdot 9^7 \cdot 2^{-2}}{81^2}$.