Номер 7.11, страница 59 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.11. Представьте в виде степени и найдите значение выражения:

1) $125(5a^{-3}b^3)^{-2} a^{-2}b^4$ при $a=0,2, b=0,5;$

2) $(0,5a^{-2})^{-2} : (32a^5b^2)^3$ при $a=(0,5)^{-4}, b=0,25;$

3) $(2^3a^{-3}b)^{-1} \cdot 64a^{-4} : a^{-5}$ при $a=-0,125, b=0,5;$

4) $27(-3^2a^3) : (3^5a^{-1}b^{-2})^3$ при $a=-0,1, b=0,1.$

1)

Сначала упростим данное выражение, используя свойства степеней:

$125(5a^{-3}b^3)^{-2} a^{-2}b^4 = 5^3 \cdot 5^{-2}(a^{-3})^{-2}(b^3)^{-2} \cdot a^{-2}b^4 = 5^3 \cdot 5^{-2}a^6b^{-6} \cdot a^{-2}b^4$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$(5^3 \cdot 5^{-2}) \cdot (a^6 \cdot a^{-2}) \cdot (b^{-6} \cdot b^4) = 5^{3-2}a^{6-2}b^{-6+4} = 5a^4b^{-2}$.

Теперь подставим заданные значения $a = 0,2$ и $b = 0,5$. Для удобства вычислений представим их в виде обыкновенных дробей и степеней:

$a = 0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$

$b = 0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$

Подставим эти значения в упрощенное выражение:

$5a^4b^{-2} = 5 \cdot (5^{-1})^4 \cdot (2^{-1})^{-2} = 5^1 \cdot 5^{-4} \cdot 2^2 = 5^{1-4} \cdot 4 = 5^{-3} \cdot 4 = \frac{4}{5^3} = \frac{4}{125}$.

Ответ: $\frac{4}{125}$

2)

Упростим выражение $(0,5a^{-2})^{-2} : (32a^5b^2)^3$.

Представим числовые коэффициенты в виде степеней числа 2: $0,5 = 2^{-1}$ и $32 = 2^5$.

Раскроем скобки в делимом и делителе:

$(2^{-1}a^{-2})^{-2} = (2^{-1})^{-2}(a^{-2})^{-2} = 2^2a^4$

$(2^5a^5b^2)^3 = (2^5)^3(a^5)^3(b^2)^3 = 2^{15}a^{15}b^6$

Выполним деление:

$\frac{2^2a^4}{2^{15}a^{15}b^6} = 2^{2-15}a^{4-15}b^{-6} = 2^{-13}a^{-11}b^{-6}$.

Теперь подставим значения $a = (0,5)^{-4}$ и $b = 0,25$. Представим их также в виде степеней числа 2:

$a = (0,5)^{-4} = (2^{-1})^{-4} = 2^4$

$b = 0,25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$

Подставим эти значения в упрощенное выражение:

$2^{-13}a^{-11}b^{-6} = 2^{-13}(2^4)^{-11}(2^{-2})^{-6} = 2^{-13} \cdot 2^{-44} \cdot 2^{12} = 2^{-13-44+12} = 2^{-45}$.

Ответ: $2^{-45}$

3)

Упростим выражение $(2^3a^{-3}b)^{-1} \cdot 64a^{-4} : a^{-5}$.

Представим $64$ как $2^6$ и выполним действия по порядку.

Раскрытие скобок: $(2^3a^{-3}b)^{-1} = 2^{-3}a^3b^{-1}$.

Умножение: $(2^{-3}a^3b^{-1}) \cdot (2^6a^{-4}) = (2^{-3} \cdot 2^6)(a^3 \cdot a^{-4})b^{-1} = 2^3a^{-1}b^{-1}$.

Деление: $(2^3a^{-1}b^{-1}) : a^{-5} = 2^3a^{-1-(-5)}b^{-1} = 8a^4b^{-1}$.

Подставим значения $a = -0,125$ и $b = 0,5$. Представим их в виде степеней:

$a = -0,125 = -\frac{1}{8} = -2^{-3}$

$b = 0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$

Вычислим значение:

$8a^4b^{-1} = 8 \cdot (-2^{-3})^4 \cdot (2^{-1})^{-1} = 2^3 \cdot ((-1)^4 \cdot (2^{-3})^4) \cdot 2^1 = 2^3 \cdot 2^{-12} \cdot 2^1 = 2^{3-12+1} = 2^{-8} = \frac{1}{256}$.

Ответ: $\frac{1}{256}$

4)

Упростим выражение $27(-3^2a^3) : (3^5a^{-1}b^{-2})^3$.

Учитываем, что $27=3^3$ и $-3^2=-(3^2)=-9$.

Упростим делимое: $27(-3^2a^3) = 3^3 \cdot (-1 \cdot 3^2 \cdot a^3) = -3^{3+2}a^3 = -3^5a^3$.

Упростим делитель: $(3^5a^{-1}b^{-2})^3 = 3^{15}a^{-3}b^{-6}$.

Выполним деление:

$\frac{-3^5a^3}{3^{15}a^{-3}b^{-6}} = -3^{5-15}a^{3-(-3)}b^{-(-6)} = -3^{-10}a^6b^6$.

Выражение можно записать как $-3^{-10}(ab)^6$.

Подставим значения $a=-0,1$ и $b=0,1$.

Найдем произведение $ab$: $ab = -0,1 \cdot 0,1 = -0,01 = -10^{-2}$.

Вычислим значение выражения:

$-3^{-10}(ab)^6 = -3^{-10}(-10^{-2})^6 = -3^{-10} \cdot ((-1)^6 \cdot (10^{-2})^6) = -3^{-10} \cdot 10^{-12}$.

Ответ: $-3^{-10} \cdot 10^{-12}$