Номер 7.4, страница 58 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.4. Найдите значение выражения:

1) $10^{-3} \cdot 0,001;$

2) $13^0 \cdot (13^{-2}) : 13^{-4};$

3) $\frac{(3^{-2})^{-2} \cdot 9^{-1}}{27};$

4) $\frac{25^{-2} \cdot 125}{5^3}.$

1) Чтобы найти значение выражения $10^{-3} \cdot 0,001$, представим десятичную дробь $0,001$ в виде степени с основанием 10. Мы знаем, что $0,001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}$. Теперь подставим это в исходное выражение:$10^{-3} \cdot 10^{-3}$.При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются (свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).$10^{-3} \cdot 10^{-3} = 10^{-3 + (-3)} = 10^{-6}$.Значение $10^{-6}$ равно $\frac{1}{10^6}$ или $0,000001$.Ответ: $0,000001$.

2) В выражении $13^0 \cdot (13^{-2}) : 13^{-4}$ используем свойства степеней. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, поэтому $13^0 = 1$. При умножении и делении степеней с одинаковым основанием их показатели соответственно складываются и вычитаются.Выражение можно упростить:$1 \cdot 13^{-2} : 13^{-4} = 13^{-2} : 13^{-4}$.Применяем правило деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$:$13^{-2 - (-4)} = 13^{-2+4} = 13^2$.Вычислим значение: $13^2 = 13 \cdot 13 = 169$.Ответ: $169$.

3) Для упрощения дроби $\frac{(3^{-2})^{-2} \cdot 9^{-1}}{27}$ представим все числа в виде степеней с основанием 3.Числа $9$ и $27$ можно записать как $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$.Подставим эти значения в выражение:$\frac{(3^{-2})^{-2} \cdot (3^2)^{-1}}{3^3}$.Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:$(3^{-2})^{-2} = 3^{(-2) \cdot (-2)} = 3^4$.$(3^2)^{-1} = 3^{2 \cdot (-1)} = 3^{-2}$.Теперь выражение в числителе выглядит так: $3^4 \cdot 3^{-2}$.Применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:$3^4 \cdot 3^{-2} = 3^{4+(-2)} = 3^2$.Дробь принимает вид: $\frac{3^2}{3^3}$.Используем правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:$\frac{3^2}{3^3} = 3^{2-3} = 3^{-1}$.По определению отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем $3^{-1} = \frac{1}{3}$.Ответ: $\frac{1}{3}$.

4) В выражении $\frac{25^{-2} \cdot 125}{5^3}$ приведем все числа к основанию 5.Мы знаем, что $25 = 5^2$ и $125 = 5^3$.Подставим эти значения в исходное выражение:$\frac{(5^2)^{-2} \cdot 5^3}{5^3}$.Сначала упростим числитель. Возведем степень в степень, используя правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:$(5^2)^{-2} = 5^{2 \cdot (-2)} = 5^{-4}$.Теперь числитель равен $5^{-4} \cdot 5^3$.При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, согласно правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:$5^{-4} \cdot 5^3 = 5^{-4+3} = 5^{-1}$.Теперь вся дробь выглядит так: $\frac{5^{-1}}{5^3}$.При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются по правилу $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:$\frac{5^{-1}}{5^3} = 5^{-1-3} = 5^{-4}$.Вычислим окончательное значение: $5^{-4} = \frac{1}{5^4} = \frac{1}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{1}{625}$.Ответ: $\frac{1}{625}$.