Номер 6.10, страница 54 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.10. Упростите выражение:

1) $ (5^3 \cdot 5^2)^4 : 5^{15}; $

2) $ (3^3)^4 \cdot 9^2 : 3^{10}; $

3) $ 3^2 \cdot (-3)^4 - 3^6; $

4) $ 25^3 : 5^2; $

5) $ 3^4 \cdot 9^1; $

6) $ 4^2 \cdot (-4)^1. $

1) Упростим выражение $(5^3 \cdot 5^2)^4 : 5^{15}$.

Сначала выполним действие в скобках, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$5^3 \cdot 5^2 = 5^{3+2} = 5^5$.

Теперь выражение принимает вид $(5^5)^4 : 5^{15}$.

Далее применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(5^5)^4 = 5^{5 \cdot 4} = 5^{20}$.

Осталось выполнить деление, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$5^{20} : 5^{15} = 5^{20-15} = 5^5$.

Вычислим окончательный результат:
$5^5 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 3125$.

Ответ: $3125$.

2) Упростим выражение $(3^3)^4 \cdot 9^2 : 3^{10}$.

Приведем все степени к одному основанию $3$. Для этого представим $9$ как $3^2$.
Выражение примет вид $(3^3)^4 \cdot (3^2)^2 : 3^{10}$.

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(3^3)^4 = 3^{3 \cdot 4} = 3^{12}$
$(3^2)^2 = 3^{2 \cdot 2} = 3^4$.

Теперь выражение выглядит так: $3^{12} \cdot 3^4 : 3^{10}$.

Выполним умножение и деление степеней, используя свойства $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$3^{12} \cdot 3^4 : 3^{10} = 3^{12+4} : 3^{10} = 3^{16} : 3^{10} = 3^{16-10} = 3^6$.

Вычислим окончательный результат:
$3^6 = 729$.

Ответ: $729$.

3) Упростим выражение $3^2 \cdot (-3)^4 - 3^6$.

Так как показатель степени $4$ является четным числом, то $(-3)^4 = 3^4$.

Подставим это в исходное выражение:
$3^2 \cdot 3^4 - 3^6$.

Используем свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^{2+4} - 3^6 = 3^6 - 3^6$.

Выполним вычитание:
$3^6 - 3^6 = 0$.

Ответ: $0$.

4) Упростим выражение $25^3 : 5^3 : 5^2$.

Приведем все степени к одному основанию $5$. Для этого представим $25$ как $5^2$.
Выражение примет вид $(5^2)^3 : 5^3 : 5^2$.

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6$.

Теперь выражение выглядит так: $5^6 : 5^3 : 5^2$.

Выполним деление последовательно слева направо, используя свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$5^6 : 5^3 = 5^{6-3} = 5^3$.
$5^3 : 5^2 = 5^{3-2} = 5^1 = 5$.

Ответ: $5$.

5) Упростим выражение $3^4 \cdot 9^1$.

Приведем все степени к одному основанию $3$. Представим $9$ как $3^2$.
Выражение примет вид $3^4 \cdot (3^2)^1$.

Так как любое число в первой степени равно самому себе, $(3^2)^1 = 3^2$.

Теперь выражение выглядит так: $3^4 \cdot 3^2$.

Используем свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^4 \cdot 3^2 = 3^{4+2} = 3^6$.

Вычислим окончательный результат:
$3^6 = 729$.

Ответ: $729$.

6) Упростим выражение $4^2 \cdot (-4)^1$.

Сначала вычислим значения степеней:
$4^2 = 16$.
$(-4)^1 = -4$.

Теперь перемножим полученные значения:
$16 \cdot (-4) = -64$.

Ответ: $-64$.