Номер 6.7, страница 53 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.7. Представьте в виде дроби выражение:

1) $a^{-1} + b^{-1};$

2) $ab^{-1} - a^{-1}b;$

3) $(x + y^{-1})(x^{-1} + y).$

1) Чтобы представить выражение $a^{-1} + b^{-1}$ в виде дроби, воспользуемся определением степени с отрицательным показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.
Таким образом, $a^{-1} = \frac{1}{a}$ и $b^{-1} = \frac{1}{b}$.
Выражение становится суммой двух дробей: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.
Для их сложения приводим дроби к общему знаменателю $ab$:
$\frac{1 \cdot b}{a \cdot b} + \frac{1 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{b + a}{ab}$.
Ответ: $\frac{a+b}{ab}$

2) Рассмотрим выражение $ab^{-1} - a^{-1}b$.
Используя правило $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, получаем $b^{-1} = \frac{1}{b}$ и $a^{-1} = \frac{1}{a}$.
Подставим это в исходное выражение: $a \cdot \frac{1}{b} - \frac{1}{a} \cdot b = \frac{a}{b} - \frac{b}{a}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $ab$:
$\frac{a \cdot a}{b \cdot a} - \frac{b \cdot b}{a \cdot b} = \frac{a^2}{ab} - \frac{b^2}{ab} = \frac{a^2 - b^2}{ab}$.
Ответ: $\frac{a^2 - b^2}{ab}$

3) Для выражения $(x + y^{-1})(x^{-1} + y)$ сначала упростим каждую из скобок, приведя их к виду дроби.
Первая скобка: $x + y^{-1} = x + \frac{1}{y} = \frac{x \cdot y}{y} + \frac{1}{y} = \frac{xy + 1}{y}$.
Вторая скобка: $x^{-1} + y = \frac{1}{x} + y = \frac{1}{x} + \frac{y \cdot x}{x} = \frac{1 + xy}{x}$.
Теперь перемножим полученные дроби:
$\left(\frac{xy+1}{y}\right) \cdot \left(\frac{1+xy}{x}\right) = \frac{(xy+1)(1+xy)}{yx} = \frac{(xy+1)^2}{xy}$.
Ответ: $\frac{(xy+1)^2}{xy}$