Вопросы, страница 51 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как изменится число, если показатель степени числа 10 увеличить на 1; уменьшить на 1? Как записать очень маленькие числа?

1. Как изменится значение степени числа 3, если показатель этой степени уменьшить на 1; увеличить на 2; уменьшить на 2?

2. Каким может быть основание степени с отрицательным показателем?

3. Почему число 0 может быть основанием степени с натуральным показателем, а с целым не может?

Если показатель степени числа 10 увеличить на 1, то исходное число умножится на 10. По свойству степеней: $a \cdot 10^{n+1} = a \cdot 10^n \cdot 10^1 = (a \cdot 10^n) \cdot 10$. Если же показатель степени уменьшить на 1, то исходное число разделится на 10: $a \cdot 10^{n-1} = a \cdot 10^n \cdot 10^{-1} = (a \cdot 10^n) / 10$.
Очень маленькие числа записывают в стандартном виде $a \times 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. Для чисел, меньших 1, показатель $n$ будет отрицательным. Например, число 0,0000052 записывается как $5,2 \times 10^{-6}$. Такая запись удобна для работы с очень большими и очень маленькими величинами.
Ответ: При увеличении показателя степени числа 10 на 1 число увеличится в 10 раз, а при уменьшении на 1 — уменьшится в 10 раз. Очень маленькие числа записываются в стандартном виде с отрицательным показателем степени.

1.Значение степени числа 3 изменится следующим образом в зависимости от изменения показателя:
• уменьшить на 1: значение степени уменьшится в 3 раза. Если исходная степень была $3^n$, то новая будет $3^{n-1} = 3^n / 3$.
• увеличить на 2: значение степени увеличится в 9 раз, так как $3^2=9$. Новая степень будет $3^{n+2} = 3^n \cdot 3^2 = 3^n \cdot 9$.
• уменьшить на 2: значение степени уменьшится в 9 раз. Новая степень будет $3^{n-2} = 3^n / 3^2 = 3^n / 9$.
Ответ: При уменьшении показателя на 1 значение уменьшится в 3 раза; при увеличении на 2 — увеличится в 9 раз; при уменьшении на 2 — уменьшится в 9 раз.

2.Степень с отрицательным целым показателем $-k$ (где $k$ — натуральное число) определяется формулой $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$. Эта формула имеет смысл только тогда, когда ее знаменатель $a^k$ не равен нулю. Знаменатель $a^k$ обращается в ноль только при $a=0$. Следовательно, операция возведения в отрицательную степень не определена для основания, равного нулю.
Ответ: Основанием степени с отрицательным показателем может быть любое число, кроме нуля ($a \neq 0$).

3.Число 0 может быть основанием степени с натуральным показателем, так как натуральные числа — это $1, 2, 3, \dots$. Возведение в степень $n$ означает умножение основания на себя $n$ раз. Для нуля это выражение всегда определено: $0^n = 0 \cdot 0 \cdot \dots \cdot 0 = 0$ для любого натурального $n$.
Однако число 0 не может быть основанием степени с произвольным целым показателем, так как множество целых чисел $Z$ включает также 0 и отрицательные числа.
• Для показателя степени 0: выражение $0^0$ в алгебре считается неопределенностью и не имеет однозначного значения.
• Для отрицательного целого показателя $-k$ (где $k$ - натуральное): $0^{-k} = \frac{1}{0^k} = \frac{1}{0}$. Деление на ноль является недопустимой операцией.
Поскольку возведение нуля в степень не определено для нулевого и отрицательных целых показателей, то говорят, что 0 может быть основанием степени только с натуральным показателем.
Ответ: Число 0 может быть основанием степени с натуральным показателем (например, $0^3=0$), но не с целым, так как для целых показателей, не являющихся натуральными (т.е. 0 и отрицательных), операция возведения в степень для основания 0 не определена ($0^0$ - неопределенность, $0^{-2}$ - деление на ноль).