Номер 5.20, страница 50 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.20. Представьте из дробей в виде последовательности из степеней последовательность чисел:

1) $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{9}$; $\frac{1}{27}$; $\frac{1}{81}$; $...$

2) $\frac{2}{7}$; $\frac{4}{49}$; $\frac{8}{343}$; $\frac{16}{2401}$; $...$

1) Рассмотрим данную последовательность чисел: $ \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \frac{1}{81}, \dots $
Чтобы представить эту последовательность в виде последовательности степеней, проанализируем ее члены.
Знаменатели дробей представляют собой степени числа 3:
$ 3 = 3^1 $
$ 9 = 3^2 $
$ 27 = 3^3 $
$ 81 = 3^4 $
Числитель каждой дроби равен 1. Любая натуральная степень числа 1 также равна 1 ($ 1^n = 1 $).
Таким образом, каждый член последовательности можно записать как степень дроби $ \frac{1}{3} $:
Первый член: $ \frac{1}{3} = \frac{1^1}{3^1} = (\frac{1}{3})^1 $
Второй член: $ \frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = \frac{1^2}{3^2} = (\frac{1}{3})^2 $
Третий член: $ \frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = \frac{1^3}{3^3} = (\frac{1}{3})^3 $
Четвертый член: $ \frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = \frac{1^4}{3^4} = (\frac{1}{3})^4 $
Следовательно, искомая последовательность степеней имеет вид: $ (\frac{1}{3})^1, (\frac{1}{3})^2, (\frac{1}{3})^3, (\frac{1}{3})^4, \dots $
Ответ: $ (\frac{1}{3})^1, (\frac{1}{3})^2, (\frac{1}{3})^3, (\frac{1}{3})^4, \dots $

2) Рассмотрим данную последовательность чисел: $ \frac{2}{7}, \frac{4}{49}, \frac{8}{343}, \frac{16}{2401}, \dots $
Проанализируем числители и знаменатели дробей по отдельности.
Последовательность числителей: $ 2, 4, 8, 16, \dots $. Это последовательные степени числа 2: $ 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, \dots $.
Последовательность знаменателей: $ 7, 49, 343, 2401, \dots $. Это последовательные степени числа 7: $ 7^1, 7^2, 7^3, 7^4, \dots $.
Используя свойство степени $ \frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n $, представим каждый член исходной последовательности в виде степени дроби $ \frac{2}{7} $:
Первый член: $ \frac{2}{7} = \frac{2^1}{7^1} = (\frac{2}{7})^1 $
Второй член: $ \frac{4}{49} = \frac{2^2}{7^2} = (\frac{2}{7})^2 $
Третий член: $ \frac{8}{343} = \frac{2^3}{7^3} = (\frac{2}{7})^3 $
Четвертый член: $ \frac{16}{2401} = \frac{2^4}{7^4} = (\frac{2}{7})^4 $
Таким образом, искомая последовательность степеней имеет вид: $ (\frac{2}{7})^1, (\frac{2}{7})^2, (\frac{2}{7})^3, (\frac{2}{7})^4, \dots $
Ответ: $ (\frac{2}{7})^1, (\frac{2}{7})^2, (\frac{2}{7})^3, (\frac{2}{7})^4, \dots $