Номер 5.16, страница 50 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.16. Докажите, что значение выражения равно нулю:

1) $((a^2)^3)^5 \cdot (a^{15}b)^2 : a^{60} - b^2;$

2) $(x^5y)^3 \cdot ((y^4)^3)^4 : y^{51} - x^{15}.$

1) Чтобы доказать, что значение выражения $((a^2)^3)^5 \cdot (a^{15}b)^2 : a^{60} - b^2$ равно нулю, необходимо его упростить. Будем использовать свойства степеней.
Сначала упростим выражение по действиям.
1. Возведение в степень: $((a^2)^3)^5$. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
$((a^2)^3)^5 = a^{2 \cdot 3 \cdot 5} = a^{30}$.
2. Возведение в степень: $(a^{15}b)^2$. При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень: $(xy)^n = x^n y^n$.
$(a^{15}b)^2 = (a^{15})^2 \cdot b^2 = a^{15 \cdot 2} b^2 = a^{30}b^2$.
3. Умножение: $a^{30} \cdot a^{30}b^2$. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
$a^{30} \cdot a^{30}b^2 = a^{30+30}b^2 = a^{60}b^2$.
4. Деление: $a^{60}b^2 : a^{60}$. При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $x^m : x^n = x^{m-n}$.
$a^{60}b^2 : a^{60} = (a^{60}:a^{60})b^2 = a^{60-60}b^2 = a^0b^2 = 1 \cdot b^2 = b^2$. (При условии, что $a \neq 0$)
5. Вычитание. Подставим полученное значение в исходное выражение:
$b^2 - b^2 = 0$.
Таким образом, мы доказали, что значение выражения равно нулю.
Ответ: 0

2) Чтобы доказать, что значение выражения $(x^5y)^3 \cdot ((y^4)^3)^4 : y^{51} - x^{15}$ равно нулю, необходимо его упростить. Будем использовать свойства степеней.
Сначала упростим выражение по действиям.
1. Возведение в степень: $(x^5y)^3$. При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень: $(ab)^n=a^nb^n$.
$(x^5y)^3 = (x^5)^3 \cdot y^3 = x^{5 \cdot 3}y^3 = x^{15}y^3$.
2. Возведение в степень: $((y^4)^3)^4$. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
$((y^4)^3)^4 = y^{4 \cdot 3 \cdot 4} = y^{48}$.
3. Умножение: $x^{15}y^3 \cdot y^{48}$. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
$x^{15}y^3 \cdot y^{48} = x^{15}y^{3+48} = x^{15}y^{51}$.
4. Деление: $x^{15}y^{51} : y^{51}$. При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $x^m : x^n = x^{m-n}$.
$x^{15}y^{51} : y^{51} = x^{15}(y^{51}:y^{51}) = x^{15}y^{51-51} = x^{15}y^0 = x^{15} \cdot 1 = x^{15}$. (При условии, что $y \neq 0$)
5. Вычитание. Подставим полученное значение в исходное выражение:
$x^{15} - x^{15} = 0$.
Таким образом, мы доказали, что значение выражения равно нулю.
Ответ: 0