Номер 5.12, страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.12.

1) $(x^{11}y^{12}z^{13})^2 : (x^2yz^2)^9 \cdot (xyz^5)^2$

2) $(\frac{x}{y})^5 \cdot (\frac{x^4}{y^3})^3 \cdot (\frac{x^8}{y^{10}})^2 \cdot (\frac{x}{y})^5$

1) $(x^{11}y^{12}z^{13})^2 : (x^2yz^2)^9 \cdot (xyz^5)^2$

Для упрощения данного выражения последовательно выполним действия, используя свойства степеней:

• Возведение произведения в степень: $(abc)^n = a^n b^n c^n$.
• Возведение степени в степень: $(a^m)^n = a^{mn}$.
• Умножение степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
• Деление степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

1. Сначала раскроем скобки, возводя каждое выражение в соответствующую степень:

$(x^{11}y^{12}z^{13})^2 = x^{11 \cdot 2}y^{12 \cdot 2}z^{13 \cdot 2} = x^{22}y^{24}z^{26}$

$(x^2yz^2)^9 = x^{2 \cdot 9}y^{1 \cdot 9}z^{2 \cdot 9} = x^{18}y^9z^{18}$

$(xyz^5)^2 = x^{1 \cdot 2}y^{1 \cdot 2}z^{5 \cdot 2} = x^2y^2z^{10}$

2. Подставим полученные одночлены в исходное выражение:

$x^{22}y^{24}z^{26} : x^{18}y^9z^{18} \cdot x^2y^2z^{10}$

3. Согласно порядку выполнения действий, операции умножения и деления имеют одинаковый приоритет и выполняются слева направо. Сначала выполним деление:

$(x^{22}y^{24}z^{26}) : (x^{18}y^9z^{18}) = x^{22-18}y^{24-9}z^{26-18} = x^4y^{15}z^8$

4. Теперь умножим полученный результат на оставшееся выражение:

$(x^4y^{15}z^8) \cdot (x^2y^2z^{10}) = x^{4+2}y^{15+2}z^{8+10} = x^6y^{17}z^{18}$

Ответ: $x^6y^{17}z^{18}$

2) $(\frac{x}{y})^5 \cdot (\frac{x^4}{y^3})^3 \cdot (\frac{x^8}{y^{10}})^2 \cdot (\frac{x}{y})^5$

Для упрощения этого выражения воспользуемся следующими свойствами степеней:

• Возведение дроби в степень: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.
• Возведение степени в степень: $(a^m)^n = a^{mn}$.
• Умножение степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

1. Сначала раскроем скобки в каждом множителе:

$(\frac{x}{y})^5 = \frac{x^5}{y^5}$

$(\frac{x^4}{y^3})^3 = \frac{(x^4)^3}{(y^3)^3} = \frac{x^{4 \cdot 3}}{y^{3 \cdot 3}} = \frac{x^{12}}{y^9}$

$(\frac{x^8}{y^{10}})^2 = \frac{(x^8)^2}{(y^{10})^2} = \frac{x^{8 \cdot 2}}{y^{10 \cdot 2}} = \frac{x^{16}}{y^{20}}$

2. Подставим упрощенные выражения обратно в произведение:

$\frac{x^5}{y^5} \cdot \frac{x^{12}}{y^9} \cdot \frac{x^{16}}{y^{20}} \cdot \frac{x^5}{y^5}$

3. Перемножим все числители и все знаменатели:

Числитель: $x^5 \cdot x^{12} \cdot x^{16} \cdot x^5 = x^{5+12+16+5} = x^{38}$

Знаменатель: $y^5 \cdot y^9 \cdot y^{20} \cdot y^5 = y^{5+9+20+5} = y^{39}$

4. Запишем итоговую дробь:

$\frac{x^{38}}{y^{39}}$

Ответ: $\frac{x^{38}}{y^{39}}$