Номер 5.8, страница 48 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.8.

1) $\frac{(x^5 y^6)^4}{x^{20} y^{22}}$;

2) $\left(\frac{a^4}{b^3}\right)^5 \cdot b^{17}$;

3) $\frac{(x^8 y^4)^3}{x^{23} y^{12}}$;

4) $\frac{a^{21} b^{34}}{(a^{10} b^{17})^2}$;

5) $y^{20} \cdot \left(\frac{z^2}{y^5}\right)^4$;

6) $\frac{z^{19} t^{41}}{(z^6 t^{13})^3}$.

1) $\frac{(x^5 y^6)^4}{x^{20} y^{22}}$

Сначала упростим числитель, используя свойство возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n b^n$ и свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(x^5 y^6)^4 = (x^5)^4 \cdot (y^6)^4 = x^{5 \cdot 4} y^{6 \cdot 4} = x^{20} y^{24}$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{x^{20} y^{24}}{x^{20} y^{22}}$

Далее, применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для каждой переменной:

$\frac{x^{20}}{x^{20}} \cdot \frac{y^{24}}{y^{22}} = x^{20-20} y^{24-22} = x^0 y^2$.

Поскольку любое число в нулевой степени равно единице ($x^0 = 1$), получаем:

$1 \cdot y^2 = y^2$.

Ответ: $y^2$.

2) $(\frac{a^4}{b^3})^5 \cdot b^{17}$

Сначала возведем дробь в степень, используя свойство возведения частного в степень $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(\frac{a^4}{b^3})^5 = \frac{(a^4)^5}{(b^3)^5} = \frac{a^{4 \cdot 5}}{b^{3 \cdot 5}} = \frac{a^{20}}{b^{15}}$.

Теперь умножим полученное выражение на $b^{17}$:

$\frac{a^{20}}{b^{15}} \cdot b^{17} = \frac{a^{20} b^{17}}{b^{15}}$

Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием для переменной $b$:

$a^{20} \cdot b^{17-15} = a^{20} b^2$.

Ответ: $a^{20}b^2$.

3) $\frac{(x^8 y^4)^3}{x^{23} y^{12}}$

Упростим числитель, используя свойства степеней $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(x^8 y^4)^3 = (x^8)^3 \cdot (y^4)^3 = x^{8 \cdot 3} y^{4 \cdot 3} = x^{24} y^{12}$.

Подставим результат в исходное выражение:

$\frac{x^{24} y^{12}}{x^{23} y^{12}}$

Теперь разделим степени с одинаковыми основаниями, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{x^{24}}{x^{23}} \cdot \frac{y^{12}}{y^{12}} = x^{24-23} y^{12-12} = x^1 y^0$.

Учитывая, что $x^1=x$ и $y^0=1$, получаем:

$x \cdot 1 = x$.

Ответ: $x$.

4) $\frac{a^{21} b^{34}}{(a^{10} b^{17})^2}$

Упростим знаменатель, используя свойства степеней $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(a^{10} b^{17})^2 = (a^{10})^2 \cdot (b^{17})^2 = a^{10 \cdot 2} b^{17 \cdot 2} = a^{20} b^{34}$.

Подставим результат в исходную дробь:

$\frac{a^{21} b^{34}}{a^{20} b^{34}}$

Применим правило деления степеней с одинаковыми основаниями $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{a^{21}}{a^{20}} \cdot \frac{b^{34}}{b^{34}} = a^{21-20} b^{34-34} = a^1 b^0$.

Так как $a^1 = a$ и $b^0 = 1$, итоговый результат:

$a \cdot 1 = a$.

Ответ: $a$.

5) $y^{20} \cdot (\frac{z^2}{y^5})^4$

Возведем дробь в скобках в степень, используя свойства $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(\frac{z^2}{y^5})^4 = \frac{(z^2)^4}{(y^5)^4} = \frac{z^{2 \cdot 4}}{y^{5 \cdot 4}} = \frac{z^8}{y^{20}}$.

Теперь умножим $y^{20}$ на полученную дробь:

$y^{20} \cdot \frac{z^8}{y^{20}} = \frac{y^{20} z^8}{y^{20}}$

Сократим $y^{20}$ в числителе и знаменателе (или применим правило деления степеней $\frac{y^{20}}{y^{20}} = y^{20-20} = y^0 = 1$):

$z^8$.

Ответ: $z^8$.

6) $\frac{z^{19} t^{41}}{(z^6 t^{13})^3}$

Раскроем скобки в знаменателе, используя свойства $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(z^6 t^{13})^3 = (z^6)^3 \cdot (t^{13})^3 = z^{6 \cdot 3} t^{13 \cdot 3} = z^{18} t^{39}$.

Подставим полученное выражение в знаменатель дроби:

$\frac{z^{19} t^{41}}{z^{18} t^{39}}$

Применим правило деления степеней с одинаковыми основаниями $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для каждой переменной:

$\frac{z^{19}}{z^{18}} \cdot \frac{t^{41}}{t^{39}} = z^{19-18} t^{41-39} = z^1 t^2$.

Упрощая, получаем:

$zt^2$.

Ответ: $zt^2$.