Номер 5.14, страница 49 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.14. Упростите выражение:

1) $(4^k 3^n)^2 : (4^{k-1} 3^{n-1})^2;$

2) $(7^m 9^n)^3 : (7^{m-2} 9^n)^3;$

3) $(11^k 5^t)^4 : (11^k 5^{t-1})^4;$

4) $(13^m 6^k)^3 : (13^m 6^{k-1})^3.$

1) Для упрощения данного выражения $(4^k 3^n)^2 : (4^{k-1} 3^{n-1})^2$ можно использовать свойство частного степеней с одинаковым показателем $a^x : b^x = (a:b)^x$.
$(4^k 3^n)^2 : (4^{k-1} 3^{n-1})^2 = \left( \frac{4^k 3^n}{4^{k-1} 3^{n-1}} \right)^2$
Теперь упростим выражение в скобках, разделив степени с одинаковыми основаниями по правилу $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{4^k}{4^{k-1}} = 4^{k-(k-1)} = 4^{k-k+1} = 4^1 = 4$
$\frac{3^n}{3^{n-1}} = 3^{n-(n-1)} = 3^{n-n+1} = 3^1 = 3$
Подставляем полученные результаты обратно в выражение:
$(4 \cdot 3)^2 = 12^2 = 144$
Ответ: $144$

2) Упростим выражение $(7^m 9^n)^3 : (7^{m-2} 9^n)^3$, используя тот же подход. Сначала применим свойство частного степеней:
$(7^m 9^n)^3 : (7^{m-2} 9^n)^3 = \left( \frac{7^m 9^n}{7^{m-2} 9^n} \right)^3$
Упростим дробь в скобках:
$\frac{7^m}{7^{m-2}} = 7^{m-(m-2)} = 7^{m-m+2} = 7^2$
$\frac{9^n}{9^n} = 9^{n-n} = 9^0 = 1$
Подставляем и вычисляем:
$(7^2 \cdot 1)^3 = (7^2)^3$
По свойству степени степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(7^2)^3 = 7^{2 \cdot 3} = 7^6$
Ответ: $7^6$

3) Упростим выражение $(11^k 5^t)^4 : (11^k 5^{t-1})^4$. Применим свойство частного степеней:
$(11^k 5^t)^4 : (11^k 5^{t-1})^4 = \left( \frac{11^k 5^t}{11^k 5^{t-1}} \right)^4$
Упростим дробь в скобках:
$\frac{11^k}{11^k} = 11^{k-k} = 11^0 = 1$
$\frac{5^t}{5^{t-1}} = 5^{t-(t-1)} = 5^{t-t+1} = 5^1 = 5$
Подставляем и вычисляем:
$(1 \cdot 5)^4 = 5^4 = 625$
Ответ: $625$

4) Упростим выражение $(13^m 6^k)^3 : (13^m 6^{k-1})^3$. Применим свойство частного степеней:
$(13^m 6^k)^3 : (13^m 6^{k-1})^3 = \left( \frac{13^m 6^k}{13^m 6^{k-1}} \right)^3$
Упростим дробь в скобках:
$\frac{13^m}{13^m} = 13^{m-m} = 13^0 = 1$
$\frac{6^k}{6^{k-1}} = 6^{k-(k-1)} = 6^{k-k+1} = 6^1 = 6$
Подставляем и вычисляем:
$(1 \cdot 6)^3 = 6^3 = 216$
Ответ: $216$