Номер 5.17, страница 50 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.17. Докажите тождество:

1) $(\frac{2}{3})^8 \cdot (\frac{3}{5})^9 \cdot (\frac{5}{2})^{10} = 3,75; \$

2) $\$(4 \cdot 7)^{10} \cdot (\frac{3}{4})^{10} : (7^5 \cdot 3^4)^2 = 9. \$

1) Чтобы доказать тождество, преобразуем левую часть равенства, используя свойства степеней.

$(\frac{2}{3})^8 \cdot (\frac{3}{5})^9 \cdot (\frac{5}{2})^{10}$

Применим свойство степени дроби $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:

$\frac{2^8}{3^8} \cdot \frac{3^9}{5^9} \cdot \frac{5^{10}}{2^{10}}$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$\frac{2^8 \cdot 3^9 \cdot 5^{10}}{3^8 \cdot 5^9 \cdot 2^{10}}$

Применим свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{8-10} \cdot 3^{9-8} \cdot 5^{10-9} = 2^{-2} \cdot 3^1 \cdot 5^1$

Вычислим значение выражения, учитывая, что $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$\frac{1}{2^2} \cdot 3 \cdot 5 = \frac{1}{4} \cdot 15 = \frac{15}{4}$

Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную:

$\frac{15}{4} = 3,75$

Таким образом, левая часть равна правой части: $3,75 = 3,75$. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть равенства, чтобы доказать тождество.

$(4 \cdot 7)^{10} \cdot (\frac{3}{4})^{10} : (7^5 \cdot 3^4)^2$

Применим свойства степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и степени дроби $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:

$(4^{10} \cdot 7^{10}) \cdot \frac{3^{10}}{4^{10}} : (7^5 \cdot 3^4)^2$

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(4^{10} \cdot 7^{10}) \cdot \frac{3^{10}}{4^{10}} : (7^{5 \cdot 2} \cdot 3^{4 \cdot 2}) = (4^{10} \cdot 7^{10}) \cdot \frac{3^{10}}{4^{10}} : (7^{10} \cdot 3^8)$

Запишем выражение в виде дроби:

$\frac{4^{10} \cdot 7^{10} \cdot 3^{10}}{4^{10} \cdot 7^{10} \cdot 3^8}$

Сократим одинаковые множители $4^{10}$ и $7^{10}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{4^{10}} \cdot \cancel{7^{10}} \cdot 3^{10}}{\cancel{4^{10}} \cdot \cancel{7^{10}} \cdot 3^8} = \frac{3^{10}}{3^8}$

Применим свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$3^{10-8} = 3^2 = 9$

Левая часть равна правой части: $9=9$. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.