Страница 50 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.16. Докажите, что значение выражения равно нулю:

1) $((a^2)^3)^5 \cdot (a^{15}b)^2 : a^{60} - b^2;$

2) $(x^5y)^3 \cdot ((y^4)^3)^4 : y^{51} - x^{15}.$

1) Чтобы доказать, что значение выражения $((a^2)^3)^5 \cdot (a^{15}b)^2 : a^{60} - b^2$ равно нулю, необходимо его упростить. Будем использовать свойства степеней.
Сначала упростим выражение по действиям.
1. Возведение в степень: $((a^2)^3)^5$. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
$((a^2)^3)^5 = a^{2 \cdot 3 \cdot 5} = a^{30}$.
2. Возведение в степень: $(a^{15}b)^2$. При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень: $(xy)^n = x^n y^n$.
$(a^{15}b)^2 = (a^{15})^2 \cdot b^2 = a^{15 \cdot 2} b^2 = a^{30}b^2$.
3. Умножение: $a^{30} \cdot a^{30}b^2$. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
$a^{30} \cdot a^{30}b^2 = a^{30+30}b^2 = a^{60}b^2$.
4. Деление: $a^{60}b^2 : a^{60}$. При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $x^m : x^n = x^{m-n}$.
$a^{60}b^2 : a^{60} = (a^{60}:a^{60})b^2 = a^{60-60}b^2 = a^0b^2 = 1 \cdot b^2 = b^2$. (При условии, что $a \neq 0$)
5. Вычитание. Подставим полученное значение в исходное выражение:
$b^2 - b^2 = 0$.
Таким образом, мы доказали, что значение выражения равно нулю.
Ответ: 0

2) Чтобы доказать, что значение выражения $(x^5y)^3 \cdot ((y^4)^3)^4 : y^{51} - x^{15}$ равно нулю, необходимо его упростить. Будем использовать свойства степеней.
Сначала упростим выражение по действиям.
1. Возведение в степень: $(x^5y)^3$. При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень: $(ab)^n=a^nb^n$.
$(x^5y)^3 = (x^5)^3 \cdot y^3 = x^{5 \cdot 3}y^3 = x^{15}y^3$.
2. Возведение в степень: $((y^4)^3)^4$. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
$((y^4)^3)^4 = y^{4 \cdot 3 \cdot 4} = y^{48}$.
3. Умножение: $x^{15}y^3 \cdot y^{48}$. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
$x^{15}y^3 \cdot y^{48} = x^{15}y^{3+48} = x^{15}y^{51}$.
4. Деление: $x^{15}y^{51} : y^{51}$. При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $x^m : x^n = x^{m-n}$.
$x^{15}y^{51} : y^{51} = x^{15}(y^{51}:y^{51}) = x^{15}y^{51-51} = x^{15}y^0 = x^{15} \cdot 1 = x^{15}$. (При условии, что $y \neq 0$)
5. Вычитание. Подставим полученное значение в исходное выражение:
$x^{15} - x^{15} = 0$.
Таким образом, мы доказали, что значение выражения равно нулю.
Ответ: 0

5.17. Докажите тождество:

1) $(\frac{2}{3})^8 \cdot (\frac{3}{5})^9 \cdot (\frac{5}{2})^{10} = 3,75; \$

2) $\$(4 \cdot 7)^{10} \cdot (\frac{3}{4})^{10} : (7^5 \cdot 3^4)^2 = 9. \$

1) Чтобы доказать тождество, преобразуем левую часть равенства, используя свойства степеней.

$(\frac{2}{3})^8 \cdot (\frac{3}{5})^9 \cdot (\frac{5}{2})^{10}$

Применим свойство степени дроби $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:

$\frac{2^8}{3^8} \cdot \frac{3^9}{5^9} \cdot \frac{5^{10}}{2^{10}}$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$\frac{2^8 \cdot 3^9 \cdot 5^{10}}{3^8 \cdot 5^9 \cdot 2^{10}}$

Применим свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{8-10} \cdot 3^{9-8} \cdot 5^{10-9} = 2^{-2} \cdot 3^1 \cdot 5^1$

Вычислим значение выражения, учитывая, что $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$\frac{1}{2^2} \cdot 3 \cdot 5 = \frac{1}{4} \cdot 15 = \frac{15}{4}$

Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную:

$\frac{15}{4} = 3,75$

Таким образом, левая часть равна правой части: $3,75 = 3,75$. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть равенства, чтобы доказать тождество.

$(4 \cdot 7)^{10} \cdot (\frac{3}{4})^{10} : (7^5 \cdot 3^4)^2$

Применим свойства степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и степени дроби $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:

$(4^{10} \cdot 7^{10}) \cdot \frac{3^{10}}{4^{10}} : (7^5 \cdot 3^4)^2$

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(4^{10} \cdot 7^{10}) \cdot \frac{3^{10}}{4^{10}} : (7^{5 \cdot 2} \cdot 3^{4 \cdot 2}) = (4^{10} \cdot 7^{10}) \cdot \frac{3^{10}}{4^{10}} : (7^{10} \cdot 3^8)$

Запишем выражение в виде дроби:

$\frac{4^{10} \cdot 7^{10} \cdot 3^{10}}{4^{10} \cdot 7^{10} \cdot 3^8}$

Сократим одинаковые множители $4^{10}$ и $7^{10}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{4^{10}} \cdot \cancel{7^{10}} \cdot 3^{10}}{\cancel{4^{10}} \cdot \cancel{7^{10}} \cdot 3^8} = \frac{3^{10}}{3^8}$

Применим свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$3^{10-8} = 3^2 = 9$

Левая часть равна правой части: $9=9$. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

5.18. Представьте число: 1) 64; 2) 729 в виде степени:

а) с отрицательным основанием;

б) с нечетным показателем.

1) 64, а) с отрицательным основанием: Чтобы представить положительное число, такое как 64, в виде степени с отрицательным основанием, показатель степени должен быть четным. Это следует из правила, что отрицательное число, возведенное в четную степень, становится положительным. Найдем подходящую степень для 64. Например, $64 = 2^6$. Так как показатель 6 является четным, мы можем использовать отрицательное основание: $(-2)^6 = 64$. Другой возможный вариант — $64 = 8^2$, что дает $(-8)^2 = 64$. Ответ: $(-2)^6$.

1) 64, б) с нечетным показателем: Чтобы представить положительное число 64 в виде степени с нечетным показателем, основание степени также должно быть положительным. Ищем положительное основание $x$ и нечетный показатель $n$ так, что $x^n=64$. Проверим нечетный показатель 3. Для этого нужно найти кубический корень из 64. Мы знаем, что $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$. Таким образом, мы нашли требуемое представление. Ответ: $4^3$.

2) 729, а) с отрицательным основанием: Для представления положительного числа 729 в виде степени с отрицательным основанием, показатель степени должен быть четным. Разложим 729 на простые множители, чтобы найти его степени: $729 = 3^6$. Показатель 6 — четное число, поэтому мы можем записать $729 = (-3)^6$. Аналогично, из представления $729=27^2$ следует $729 = (-27)^2$. Ответ: $(-3)^6$.

2) 729, б) с нечетным показателем: Для представления положительного числа 729 в виде степени с нечетным показателем, основание степени должно быть положительным. Используя разложение на множители $729 = 3^6$, можно сгруппировать их для получения нечетного показателя: $3^6 = (3^2)^3 = 9^3$. Здесь показатель 3 — нечетный, а основание 9 — положительное. Ответ: $9^3$.

5.19. Найдите значения степеней числа 3:

$3$; $3^2$; $3^3$; $3^4$; $3^5$; $3^6$; ...

1) Какой вывод можно сделать о значении степени каждого следующего числа по сравнению с предыдущим?

2) Какой вывод можно сделать о значении степени каждого предыдущего числа по сравнению с последующим?

Для начала, вычислим значения первых нескольких степеней числа 3:

$3^1 = 3$

$3^2 = 9$

$3^3 = 27$

$3^4 = 81$

$3^5 = 243$

$3^6 = 729$

Мы получили последовательность значений: 3, 9, 27, 81, 243, 729, ...

Теперь ответим на поставленные вопросы.

1) Какой вывод можно сделать о значении степени каждого следующего числа по сравнению с предыдущим?

Чтобы сравнить каждое следующее число с предыдущим, найдем их отношение. Возьмем, например, второе и первое число: $9 / 3 = 3$. Теперь возьмем третье и второе: $27 / 9 = 3$. И четвертое с третьим: $81 / 27 = 3$. Эта закономерность сохраняется для всей последовательности. В общем виде это можно записать с помощью свойства степеней: $\frac{3^{n+1}}{3^n} = 3^{(n+1)-n} = 3^1 = 3$. Таким образом, каждое следующее число в последовательности в 3 раза больше предыдущего.

Ответ: Значение степени каждого следующего числа в 3 раза больше значения степени предыдущего числа.

2) Какой вывод можно сделать о значении степени каждого предыдущего числа по сравнению с последующим?

Это обратный вопрос. Сравним каждое предыдущее число с последующим, найдя их отношение. Возьмем первое и второе число: $3 / 9 = \frac{1}{3}$. Теперь возьмем второе и третье: $9 / 27 = \frac{1}{3}$. И третье с четвертым: $27 / 81 = \frac{1}{3}$. В общем виде: $\frac{3^n}{3^{n+1}} = 3^{n-(n+1)} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$. Следовательно, каждое предыдущее число в последовательности в 3 раза меньше последующего.

Ответ: Значение степени каждого предыдущего числа в 3 раза меньше значения степени последующего числа.

5.20. Представьте из дробей в виде последовательности из степеней последовательность чисел:

1) $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{9}$; $\frac{1}{27}$; $\frac{1}{81}$; $...$

2) $\frac{2}{7}$; $\frac{4}{49}$; $\frac{8}{343}$; $\frac{16}{2401}$; $...$

1) Рассмотрим данную последовательность чисел: $ \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \frac{1}{81}, \dots $
Чтобы представить эту последовательность в виде последовательности степеней, проанализируем ее члены.
Знаменатели дробей представляют собой степени числа 3:
$ 3 = 3^1 $
$ 9 = 3^2 $
$ 27 = 3^3 $
$ 81 = 3^4 $
Числитель каждой дроби равен 1. Любая натуральная степень числа 1 также равна 1 ($ 1^n = 1 $).
Таким образом, каждый член последовательности можно записать как степень дроби $ \frac{1}{3} $:
Первый член: $ \frac{1}{3} = \frac{1^1}{3^1} = (\frac{1}{3})^1 $
Второй член: $ \frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = \frac{1^2}{3^2} = (\frac{1}{3})^2 $
Третий член: $ \frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = \frac{1^3}{3^3} = (\frac{1}{3})^3 $
Четвертый член: $ \frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = \frac{1^4}{3^4} = (\frac{1}{3})^4 $
Следовательно, искомая последовательность степеней имеет вид: $ (\frac{1}{3})^1, (\frac{1}{3})^2, (\frac{1}{3})^3, (\frac{1}{3})^4, \dots $
Ответ: $ (\frac{1}{3})^1, (\frac{1}{3})^2, (\frac{1}{3})^3, (\frac{1}{3})^4, \dots $

2) Рассмотрим данную последовательность чисел: $ \frac{2}{7}, \frac{4}{49}, \frac{8}{343}, \frac{16}{2401}, \dots $
Проанализируем числители и знаменатели дробей по отдельности.
Последовательность числителей: $ 2, 4, 8, 16, \dots $. Это последовательные степени числа 2: $ 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, \dots $.
Последовательность знаменателей: $ 7, 49, 343, 2401, \dots $. Это последовательные степени числа 7: $ 7^1, 7^2, 7^3, 7^4, \dots $.
Используя свойство степени $ \frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n $, представим каждый член исходной последовательности в виде степени дроби $ \frac{2}{7} $:
Первый член: $ \frac{2}{7} = \frac{2^1}{7^1} = (\frac{2}{7})^1 $
Второй член: $ \frac{4}{49} = \frac{2^2}{7^2} = (\frac{2}{7})^2 $
Третий член: $ \frac{8}{343} = \frac{2^3}{7^3} = (\frac{2}{7})^3 $
Четвертый член: $ \frac{16}{2401} = \frac{2^4}{7^4} = (\frac{2}{7})^4 $
Таким образом, искомая последовательность степеней имеет вид: $ (\frac{2}{7})^1, (\frac{2}{7})^2, (\frac{2}{7})^3, (\frac{2}{7})^4, \dots $
Ответ: $ (\frac{2}{7})^1, (\frac{2}{7})^2, (\frac{2}{7})^3, (\frac{2}{7})^4, \dots $