Страница 47 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Представьте в виде произведения степеней степени (5.1–5.2):

5.1. 1) $(ax)^7$;

2) $(yz)^{10}$;

3) $(nm)^{15}$;

4) $(cd)^{20}.

1) Чтобы представить выражение $(ax)^7$ в виде произведения степеней, необходимо воспользоваться свойством возведения произведения в степень. Это свойство гласит, что для возведения произведения в степень, нужно возвести в эту степень каждый из множителей и результаты перемножить. Формула этого свойства: $(ab)^n = a^nb^n$. В нашем случае множители — это $a$ и $x$, а показатель степени — 7. Таким образом, мы возводим каждый множитель в 7-ю степень: $(ax)^7 = a^7x^7$.
Ответ: $a^7x^7$

2) Применяя то же свойство степени к выражению $(yz)^{10}$, мы возводим каждый множитель, $y$ и $z$, в 10-ю степень. В результате получаем: $(yz)^{10} = y^{10}z^{10}$.
Ответ: $y^{10}z^{10}$

3) Для выражения $(nm)^{15}$ множителями являются $n$ и $m$, а показатель степени равен 15. По правилу возведения произведения в степень, имеем: $(nm)^{15} = n^{15}m^{15}$.
Ответ: $n^{15}m^{15}$

4) Аналогично, для выражения $(cd)^{20}$ возводим множители $c$ и $d$ в 20-ю степень, что дает: $(cd)^{20} = c^{20}d^{20}$.
Ответ: $c^{20}d^{20}$

5.2.

1) $(2a)^{20}$;

2) $(1,5b)^{5}$;

3) $(\frac{2}{17}c)^{7}$;

4) $(-4d)^{12}$.

1) Для того чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить. Это свойство степени выражается формулой: $(ab)^n = a^n b^n$.
Применим это правило к выражению $(2a)^{20}$:
$(2a)^{20} = 2^{20} \cdot a^{20}$
Вычислим значение $2^{20}$:
$2^{10} = 1024$
$2^{20} = (2^{10})^2 = 1024^2 = 1\;048\;576$
Таким образом, получаем:
$2^{20}a^{20} = 1\;048\;576a^{20}$
Ответ: $1\;048\;576a^{20}$.

2) Используем то же свойство степени: $(ab)^n = a^n b^n$.
Применим его к выражению $(1,5b)^5$:
$(1,5b)^5 = (1,5)^5 \cdot b^5$
Вычислим $(1,5)^5$. Для удобства представим десятичную дробь 1,5 в виде обыкновенной дроби: $1,5 = \frac{3}{2}$.
Теперь возведем дробь в степень, используя правило $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:
$(\frac{3}{2})^5 = \frac{3^5}{2^5} = \frac{243}{32}$
Переведем полученную обыкновенную дробь обратно в десятичную: $243 \div 32 = 7,59375$.
Следовательно:
$(1,5)^5 b^5 = 7,59375b^5$
Ответ: $7,59375b^5$.

3) Применим свойство возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n b^n$ и свойство возведения дроби в степень $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.
$(\frac{2}{17}c)^7 = (\frac{2}{17})^7 \cdot c^7 = \frac{2^7}{17^7}c^7$
Вычислим значение числителя: $2^7 = 128$.
Знаменатель $17^7$ является очень большим числом ($17^7 = 410\;338\;673$), поэтому в подобных задачах его принято оставлять в виде степени.
Таким образом, итоговое выражение имеет вид:
$\frac{128}{17^7}c^7$
Ответ: $\frac{128}{17^7}c^7$.

4) Используем правило возведения произведения в степень: $(ab)^n = a^n b^n$.
$(-4d)^{12} = (-4)^{12} \cdot d^{12}$
Так как показатель степени (12) является четным числом, результат возведения отрицательного основания (-4) в эту степень будет положительным числом: $(-4)^{12} = 4^{12}$.
Вычислим $4^{12}$. Для упрощения вычислений представим основание 4 как $2^2$ и используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:
$4^{12} = (2^2)^{12} = 2^{2 \cdot 12} = 2^{24}$
Вычислим $2^{24}$:
$2^{24} = 2^{10} \cdot 2^{10} \cdot 2^4 = 1024 \cdot 1024 \cdot 16 = 1\;048\;576 \cdot 16 = 16\;777\;216$
Следовательно, получаем:
$(-4d)^{12} = 16\;777\;216d^{12}$
Ответ: $16\;777\;216d^{12}$.