Страница 40 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.10. Вычислите:

1) $3^{25} : 3^{22} \cdot 3^{2};$

2) $6^{20} \cdot 6^{18} : 6^{35};$

3) $\left(\frac{5}{9}\right)^{40} : \left(\frac{5}{9}\right)^{36} \cdot \left(\frac{5}{9}\right)^{2};$

4) $\left(-\frac{1}{2}\right)^{50} : \left(-\frac{1}{2}\right)^{49} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{4};$

5) $(1,1)^{17} \cdot (1,1) : (1,1)^{16};$

6) $(-1,3)^{29} : (-1,3)^{28} \cdot (-1,3).$

1) Для вычисления выражения $3^{25} : 3^{22} \cdot 3^2$ воспользуемся свойствами степеней. В данном выражении сначала выполним умножение, а затем деление.
1. Умножение: $3^{22} \cdot 3^2 = 3^{22+2} = 3^{24}$ (при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются).
2. Деление: $3^{25} : 3^{24} = 3^{25-24} = 3^1 = 3$ (при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются).
Ответ: 3

2) В выражении $6^{20} \cdot 6^{18} : 6^{35}$ операции умножения и деления имеют одинаковый приоритет и выполняются слева направо.
1. Умножение: $6^{20} \cdot 6^{18} = 6^{20+18} = 6^{38}$.
2. Деление: $6^{38} : 6^{35} = 6^{38-35} = 6^3$.
3. Вычисление значения: $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$.
Ответ: 216

3) В выражении $(\frac{5}{9})^{40} : (\frac{5}{9})^{36} \cdot (\frac{5}{9})^2$ сначала выполним умножение, а затем деление.
1. Умножение: $(\frac{5}{9})^{36} \cdot (\frac{5}{9})^2 = (\frac{5}{9})^{36+2} = (\frac{5}{9})^{38}$.
2. Деление: $(\frac{5}{9})^{40} : (\frac{5}{9})^{38} = (\frac{5}{9})^{40-38} = (\frac{5}{9})^2$.
3. Вычисление значения: $(\frac{5}{9})^2 = \frac{5^2}{9^2} = \frac{25}{81}$.
Ответ: $\frac{25}{81}$

4) В выражении $(-\frac{1}{2})^{50} : (-\frac{1}{2})^{49} \cdot (-\frac{1}{2})^4$ сначала выполним умножение.
1. Умножение: $(-\frac{1}{2})^{49} \cdot (-\frac{1}{2})^4 = (-\frac{1}{2})^{49+4} = (-\frac{1}{2})^{53}$.
2. Деление: $(-\frac{1}{2})^{50} : (-\frac{1}{2})^{53} = (-\frac{1}{2})^{50-53} = (-\frac{1}{2})^{-3}$.
3. Вычисление значения с использованием свойства $a^{-n} = (\frac{1}{a})^n$: $(-\frac{1}{2})^{-3} = (-2)^3 = -8$.
Ответ: -8

5) В выражении $(1.1)^{17} \cdot (1.1) : (1.1)^{16}$ операции выполняются слева направо. Учтем, что $(1.1) = (1.1)^1$.
1. Умножение: $(1.1)^{17} \cdot (1.1)^1 = (1.1)^{17+1} = (1.1)^{18}$.
2. Деление: $(1.1)^{18} : (1.1)^{16} = (1.1)^{18-16} = (1.1)^2$.
3. Вычисление значения: $(1.1)^2 = 1.21$.
Ответ: 1.21

6) В выражении $(-1.3)^{29} : (-1.3)^{28} \cdot (-1.3)$ сначала выполним умножение. Учтем, что $(-1.3) = (-1.3)^1$.
1. Умножение: $(-1.3)^{28} \cdot (-1.3)^1 = (-1.3)^{28+1} = (-1.3)^{29}$.
2. Деление: $(-1.3)^{29} : (-1.3)^{29} = (-1.3)^{29-29} = (-1.3)^0$.
3. Вычисление значения: $(-1.3)^0 = 1$ (любое ненулевое число в степени 0 равно 1).
Ответ: 1

3.11. Найдите значение выражений:

1) $\frac{a^{20} \cdot a^{20}}{a^{17} \cdot a^{19}}$ при $a = 5$; $-\frac{3}{11}$; $2,8$; $-40$;

2) $\frac{b^{40} \cdot b^{10} \cdot b^{38}}{b^{37} \cdot b^{49}}$ при $b = 8$; $-1,3$; $\frac{5}{3}$; $-6$.

1) Сначала упростим данное выражение, используя свойства степеней. Выражение: $\frac{a^{20} \cdot a^{20}}{a^{17} \cdot a^{19}}$

Для числителя применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$a^{20} \cdot a^{20} = a^{20+20} = a^{40}$

Для знаменателя также применим это правило:

$a^{17} \cdot a^{19} = a^{17+19} = a^{36}$

Теперь выражение имеет вид: $\frac{a^{40}}{a^{36}}$

Далее применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{a^{40}}{a^{36}} = a^{40-36} = a^4$

Теперь найдем значение выражения $a^4$ для каждого из заданных значений $a$.

При $a = 5$:

$a^4 = 5^4 = 625$

При $a = -\frac{3}{11}$:

$a^4 = (-\frac{3}{11})^4 = \frac{(-3)^4}{11^4} = \frac{81}{14641}$

При $a = 2,8$:

$a^4 = (2,8)^4 = 61,4656$

При $a = -40$:

$a^4 = (-40)^4 = 40^4 = 2560000$

Ответ: при $a = 5$ значение равно $625$; при $a = -\frac{3}{11}$ значение равно $\frac{81}{14641}$; при $a = 2,8$ значение равно $61,4656$; при $a = -40$ значение равно $2560000$.

2) Сначала упростим данное выражение, используя свойства степеней. Выражение: $\frac{b^{40} \cdot b^{10} \cdot b^{38}}{b^{37} \cdot b^{49}}$

Для числителя применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n \cdot x^k = x^{m+n+k}$:

$b^{40} \cdot b^{10} \cdot b^{38} = b^{40+10+38} = b^{88}$

Для знаменателя применим правило $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$b^{37} \cdot b^{49} = b^{37+49} = b^{86}$

Теперь выражение имеет вид: $\frac{b^{88}}{b^{86}}$

Далее применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{b^{88}}{b^{86}} = b^{88-86} = b^2$

Теперь найдем значение выражения $b^2$ для каждого из заданных значений $b$.

При $b = 8$:

$b^2 = 8^2 = 64$

При $b = -1,3$:

$b^2 = (-1,3)^2 = 1,69$

При $b = \frac{5}{3}$:

$b^2 = (\frac{5}{3})^2 = \frac{5^2}{3^2} = \frac{25}{9}$

При $b = -6$:

$b^2 = (-6)^2 = 36$

Ответ: при $b = 8$ значение равно $64$; при $b = -1,3$ значение равно $1,69$; при $b = \frac{5}{3}$ значение равно $\frac{25}{9}$; при $b = -6$ значение равно $36$.

3.12. При каком значении переменной x значение выражения равно 1:

1) $100^{34} : 100^{32} : 100^x;$

2) $(-40)^{50} : (-40)^x : (-40)^{21};$

3) $(\frac{1}{6})^{42} \cdot (\frac{1}{6})^9 : (\frac{1}{6})^x;$

4) $(-9,3)^x : (-9,3)^{24} : (-9,3)^{48}?$

1) Чтобы найти значение переменной $x$, при котором значение выражения равно 1, необходимо решить уравнение:
$100^{34} : 100^{32} : 100^x = 1$
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$). Применим это свойство к левой части уравнения:
$100^{34 - 32 - x} = 1$
$100^{2 - x} = 1$
Любое число (кроме 0, 1 и -1) в степени 0 равно 1. Следовательно, показатель степени должен быть равен нулю:
$2 - x = 0$
$x = 2$
Ответ: 2.

2) Решим уравнение:
$(-40)^{50} : (-40)^x : (-40)^{21} = 1$
Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием:
$(-40)^{50 - x - 21} = 1$
$(-40)^{29 - x} = 1$
Так как основание степени $(-40)$ не равно 0, 1 или -1, то для равенства единице показатель степени должен быть равен нулю:
$29 - x = 0$
$x = 29$
Ответ: 29.

3) Решим уравнение:
$(\frac{1}{6})^{42} \cdot (\frac{1}{6})^9 : (\frac{1}{6})^x = 1$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), а при делении вычитаются. Упростим левую часть:
$(\frac{1}{6})^{42 + 9 - x} = 1$
$(\frac{1}{6})^{51 - x} = 1$
Основание степени $\frac{1}{6}$ не равно 0, 1 или -1, поэтому показатель степени должен быть равен нулю:
$51 - x = 0$
$x = 51$
Ответ: 51.

4) В условии задачи, по-видимому, есть опечатка. Будем исходить из того, что пропущенная переменная $x$ находится в показателе степени первого множителя, а операции являются делением, как в других примерах. Тогда уравнение выглядит так:
$(-9,3)^x : (-9,3)^{24} : (-9,3)^{48} = 1$
Упростим левую часть, используя свойство деления степеней:
$(-9,3)^{x - 24 - 48} = 1$
$(-9,3)^{x - 72} = 1$
Основание степени $(-9,3)$ не равно 0, 1 или -1, значит, показатель степени должен быть равен нулю:
$x - 72 = 0$
$x = 72$
Ответ: 72.

3.13. Сравните значения выражений:

1) $4^5 : 4^3$ и $2^8 : 2^6$;

2) $(-9)^{10} : (-9)^9$ и $(-8)^9 : (-8)^8$;

3) $10^{20} : 10^{19} \cdot 10^2$ и $2^{40} : 2^{35} \cdot 2^5$;

4) $(-\frac{1}{3})^{60} : (-\frac{1}{3})^{58}$ и $(-\frac{1}{2})^{40} : (-\frac{1}{2})^{36}$.

1) Сравним значения выражений $4^5 : 4^3$ и $2^8 : 2^6$.

Для решения этой задачи необходимо упростить каждое выражение, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Вычислим значение первого выражения:

$4^5 : 4^3 = 4^{5-3} = 4^2 = 16$.

Вычислим значение второго выражения:

$2^8 : 2^6 = 2^{8-6} = 2^2 = 4$.

Теперь сравним полученные результаты:

$16 > 4$.

Следовательно, $4^5 : 4^3 > 2^8 : 2^6$.

Ответ: $4^5 : 4^3 > 2^8 : 2^6$.

2) Сравним значения выражений $(-9)^{10} : (-9)^9$ и $(-8)^9 : (-8)^8$.

Упростим каждое выражение, применяя то же свойство деления степеней.

Вычислим значение первого выражения:

$(-9)^{10} : (-9)^9 = (-9)^{10-9} = (-9)^1 = -9$.

Вычислим значение второго выражения:

$(-8)^9 : (-8)^8 = (-8)^{9-8} = (-8)^1 = -8$.

Сравним полученные отрицательные числа:

$-9 < -8$.

Следовательно, $(-9)^{10} : (-9)^9 < (-8)^9 : (-8)^8$.

Ответ: $(-9)^{10} : (-9)^9 < (-8)^9 : (-8)^8$.

3) Сравним значения выражений $10^{20} : 10^{19} \cdot 10^2$ и $2^{40} : 2^{35} \cdot 2^5$.

Упростим выражения, выполняя действия по порядку слева направо. Используем свойства степеней: $a^m : a^n = a^{m-n}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Упростим первое выражение:

$10^{20} : 10^{19} \cdot 10^2 = (10^{20-19}) \cdot 10^2 = 10^1 \cdot 10^2 = 10^{1+2} = 10^3 = 1000$.

Упростим второе выражение:

$2^{40} : 2^{35} \cdot 2^5 = (2^{40-35}) \cdot 2^5 = 2^5 \cdot 2^5 = 2^{5+5} = 2^{10} = 1024$.

Сравним полученные результаты:

$1000 < 1024$.

Следовательно, $10^{20} : 10^{19} \cdot 10^2 < 2^{40} : 2^{35} \cdot 2^5$.

Ответ: $10^{20} : 10^{19} \cdot 10^2 < 2^{40} : 2^{35} \cdot 2^5$.

4) Сравним значения выражений $(-\frac{1}{3})^{60} : (-\frac{1}{3})^{58}$ и $(-\frac{1}{2})^{40} : (-\frac{1}{2})^{36}$.

Упростим каждое из выражений, используя свойство деления степеней.

Вычислим значение первого выражения:

$(-\frac{1}{3})^{60} : (-\frac{1}{3})^{58} = (-\frac{1}{3})^{60-58} = (-\frac{1}{3})^2$.

Поскольку степень четная (2), отрицательное основание дает положительный результат: $(-\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$.

Вычислим значение второго выражения:

$(-\frac{1}{2})^{40} : (-\frac{1}{2})^{36} = (-\frac{1}{2})^{40-36} = (-\frac{1}{2})^4$.

Степень также четная (4), поэтому результат будет положительным: $(-\frac{1}{2})^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16}$.

Теперь сравним полученные дроби $\frac{1}{9}$ и $\frac{1}{16}$. Из двух дробей с одинаковым числителем (равным 1) большей является та, у которой знаменатель меньше. Так как $9 < 16$, то $\frac{1}{9} > \frac{1}{16}$.

Следовательно, $(-\frac{1}{3})^{60} : (-\frac{1}{3})^{58} > (-\frac{1}{2})^{40} : (-\frac{1}{2})^{36}$.

Ответ: $(-\frac{1}{3})^{60} : (-\frac{1}{3})^{58} > (-\frac{1}{2})^{40} : (-\frac{1}{2})^{36}$.

Упростите выражения (3.14–3.15):

3.14. 1) $9^n : 9^5$;

2) $(-10)^6 : (-10)^m$;

3) $3,7^k : 3,7^{11}$;

4) $\left(\frac{3}{16}\right)^6 : \left(\frac{3}{16}\right)^d$;

5) $\left(8\frac{1}{4}\right)^c : \left(8\frac{1}{4}\right)^c$;

6) $(-2,4)^t : (-2,4)^1$.

Для решения всех пунктов используется свойство частного степеней с одинаковым основанием: при делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя. Формула: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

1) Упростим выражение $9^n : 9^5$.
Основание степени равно 9. Показатели степеней равны $n$ и $5$.
Применяя свойство частного степеней, получаем:
$9^n : 9^5 = 9^{n-5}$.
Ответ: $9^{n-5}$.

2) Упростим выражение $(-10)^6 : (-10)^m$.
Основание степени равно -10. Показатели степеней равны $6$ и $m$.
Применяя свойство частного степеней, получаем:
$(-10)^6 : (-10)^m = (-10)^{6-m}$.
Ответ: $(-10)^{6-m}$.

3) Упростим выражение $3,7^k : 3,7^{11}$.
Основание степени равно 3,7. Показатели степеней равны $k$ и $11$.
Применяя свойство частного степеней, получаем:
$3,7^k : 3,7^{11} = 3,7^{k-11}$.
Ответ: $3,7^{k-11}$.

4) Упростим выражение $(\frac{3}{16})^6 : (\frac{3}{16})^d$.
Основание степени равно $\frac{3}{16}$. Показатели степеней равны $6$ и $d$.
Применяя свойство частного степеней, получаем:
$(\frac{3}{16})^6 : (\frac{3}{16})^d = (\frac{3}{16})^{6-d}$.
Ответ: $(\frac{3}{16})^{6-d}$.

5) Упростим выражение $(8\frac{1}{4}) : (8\frac{1}{4})^c$.
Если показатель степени не указан, он равен 1. Таким образом, выражение можно записать как $(8\frac{1}{4})^1 : (8\frac{1}{4})^c$.
Основание степени равно $8\frac{1}{4}$. Показатели степеней равны $1$ и $c$.
Применяя свойство частного степеней, получаем:
$(8\frac{1}{4})^1 : (8\frac{1}{4})^c = (8\frac{1}{4})^{1-c}$.
Ответ: $(8\frac{1}{4})^{1-c}$.

6) Упростим выражение $(-2,4)^t : (-2,4)^1$.
Основание степени равно -2,4. Показатели степеней равны $t$ и $1$.
Применяя свойство частного степеней, получаем:
$(-2,4)^t : (-2,4)^1 = (-2,4)^{t-1}$.
Ответ: $(-2,4)^{t-1}$.