Страница 35 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Запишите в виде произведения двух степеней с одинаковыми основаниями степени (2.3–2.4):

2.3. 1) $9^{10}$;

2) $(\frac{2}{3})^8$;

3) $(81,4)^6$;

4) $(-\frac{4}{11})^{15}$;

5) $(-20)^7$;

6) $(5\frac{1}{9})^{40}$;

7) $(-0,09)^{13}$;

8) $(-2\frac{5}{13})^{28}$.

1) Чтобы представить степень в виде произведения двух степеней с одинаковыми основаниями, используется свойство умножения степеней: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Для выражения $9^{10}$ основанием является $a=9$, а показателем степени $k=10$. Необходимо представить показатель 10 в виде суммы двух натуральных чисел, например, $10 = 4 + 6$. Тогда, применяя свойство, получаем: $9^{10} = 9^{4+6} = 9^4 \cdot 9^6$. Отметим, что существуют и другие возможные варианты разбиения, например, $9^{10} = 9^1 \cdot 9^9$ или $9^{10} = 9^5 \cdot 9^5$.
Ответ: $9^4 \cdot 9^6$.

2) Для степени $(\frac{2}{3})^8$ основанием является $a=\frac{2}{3}$, а показателем $k=8$. Представим показатель 8 в виде суммы двух чисел, например, $8 = 3 + 5$. Используя свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, получаем: $(\frac{2}{3})^8 = (\frac{2}{3})^{3+5} = (\frac{2}{3})^3 \cdot (\frac{2}{3})^5$.
Ответ: $(\frac{2}{3})^3 \cdot (\frac{2}{3})^5$.

3) Для степени $(81,4)^6$ основанием является $a=81,4$, а показателем $k=6$. Представим показатель 6 в виде суммы двух чисел, например, $6 = 2 + 4$. По свойству умножения степеней: $(81,4)^6 = (81,4)^{2+4} = (81,4)^2 \cdot (81,4)^4$.
Ответ: $(81,4)^2 \cdot (81,4)^4$.

4) Для степени $(-\frac{4}{11})^{15}$ основанием является $a=-\frac{4}{11}$, а показателем $k=15$. Представим показатель 15 в виде суммы двух чисел, например, $15 = 7 + 8$. Тогда: $(-\frac{4}{11})^{15} = (-\frac{4}{11})^{7+8} = (-\frac{4}{11})^7 \cdot (-\frac{4}{11})^8$.
Ответ: $(-\frac{4}{11})^7 \cdot (-\frac{4}{11})^8$.

5) Для степени $(-20)^7$ основанием является $a=-20$, а показателем $k=7$. Представим показатель 7 в виде суммы двух чисел, например, $7 = 1 + 6$. По свойству умножения степеней: $(-20)^7 = (-20)^{1+6} = (-20)^1 \cdot (-20)^6 = -20 \cdot (-20)^6$.
Ответ: $(-20)^1 \cdot (-20)^6$.

6) Для степени $(5\frac{1}{9})^{40}$ основанием является $a=5\frac{1}{9}$, а показателем $k=40$. Представим показатель 40 в виде суммы двух чисел, например, $40 = 10 + 30$. Тогда: $(5\frac{1}{9})^{40} = (5\frac{1}{9})^{10+30} = (5\frac{1}{9})^{10} \cdot (5\frac{1}{9})^{30}$.
Ответ: $(5\frac{1}{9})^{10} \cdot (5\frac{1}{9})^{30}$.

7) Для степени $(-0,09)^{13}$ основанием является $a=-0,09$, а показателем $k=13$. Представим показатель 13 в виде суммы двух чисел, например, $13 = 5 + 8$. По свойству умножения степеней: $(-0,09)^{13} = (-0,09)^{5+8} = (-0,09)^5 \cdot (-0,09)^8$.
Ответ: $(-0,09)^5 \cdot (-0,09)^8$.

8) Для степени $(-2\frac{5}{13})^{28}$ основанием является $a=-2\frac{5}{13}$, а показателем $k=28$. Представим показатель 28 в виде суммы двух чисел, например, $28 = 14 + 14$. Тогда: $(-2\frac{5}{13})^{28} = (-2\frac{5}{13})^{14+14} = (-2\frac{5}{13})^{14} \cdot (-2\frac{5}{13})^{14}$.
Ответ: $(-2\frac{5}{13})^{14} \cdot (-2\frac{5}{13})^{14}$.

2.4.

1) $y^{11};$

2) $(-d)^{41};$

3) $(8,5c)^{14};$

4) $\left(-3 \frac{2}{3} x\right)^{13}.$

1) Данное выражение $y^{11}$ уже представлено в виде степени. Основание степени — $y$, показатель степени — $11$. Выражение является одночленом в стандартном виде и дальнейшему упрощению не подлежит.
Ответ: $y^{11}$.

2) Чтобы возвести в степень произведение, нужно каждый множитель возвести в эту степень. Выражение $(-d)^{41}$ можно записать как $(-1 \cdot d)^{41}$.
$(-d)^{41} = (-1)^{41} \cdot d^{41}$.
Поскольку показатель степени $41$ является нечетным числом, то $(-1)^{41} = -1$.
Следовательно, $(-d)^{41} = -1 \cdot d^{41} = -d^{41}$.
Ответ: $-d^{41}$.

3) Используем свойство возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n b^n$.
В данном случае основание степени — это произведение числа $8,5$ и переменной $c$.
$(8,5c)^{14} = (8,5)^{14} \cdot c^{14} = 8,5^{14}c^{14}$.
Ответ: $8,5^{14}c^{14}$.

4) Сначала преобразуем смешанное число $-3\frac{2}{3}$ в неправильную дробь.
$-3\frac{2}{3} = - \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = -\frac{11}{3}$.
Теперь исходное выражение можно записать в виде $(-\frac{11}{3}x)^{13}$.
Применим свойство возведения произведения в степень:
$(-\frac{11}{3}x)^{13} = (-\frac{11}{3})^{13} \cdot x^{13}$.
Так как показатель степени $13$ — нечетное число, знак "минус" можно вынести за скобки:
$(-\frac{11}{3})^{13} = -(\frac{11}{3})^{13}$.
В итоге получаем: $-(\frac{11}{3})^{13}x^{13}$.
Ответ: $-(\frac{11}{3})^{13}x^{13}$.

Вместо звездочки запишите число, чтобы были верными равенства (2.5–2.6):

2.5. 1) $a^{31} = a^{19} \cdot a^{*}$;

2) $b^{24} = b^{*} \cdot b^{16}$;

3) $(-d)^{52} = (-d)^{34} \cdot (-d)^{*}$;

4) $(xy)^9 = (xy)^3 \cdot (xy)^{*}$;

5) $(\frac{k}{3})^{20} = (\frac{k}{3})^{10} \cdot (\frac{k}{3})^{*}$;

6) $(1,3t)^{*} : (1,3t)^{8} = (1,3t)^{13}$.

1) Для решения данного равенства $a^{31} = a^{19} \cdot a^{*}$ воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. В нашем случае основание равно $a$. Показатель степени в левой части равенства должен быть равен сумме показателей степеней в правой части. Обозначим искомое число за $n$. Тогда получаем уравнение: $31 = 19 + n$. Чтобы найти $n$, вычтем 19 из 31: $n = 31 - 19 = 12$.
Ответ: 12

2) В равенстве $b^{24} = b^{*} \cdot b^{16}$ применяется то же свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Основание здесь $b$. Пусть неизвестный показатель степени равен $n$. Составим уравнение: $24 = n + 16$. Для нахождения $n$ вычтем 16 из 24: $n = 24 - 16 = 8$.
Ответ: 8

3) Равенство $(-d)^{52} = (-d)^{34} \cdot (-d)^{*}$ также основано на свойстве умножения степеней. Основание степени равно $(-d)$. Пусть искомый показатель — это $n$. Тогда $52 = 34 + n$. Находим $n$: $n = 52 - 34 = 18$.
Ответ: 18

4) В примере $(xy)^{9} = (xy)^{3} \cdot (xy)^{*}$ используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием $(xy)$. Пусть неизвестный показатель равен $n$. Составляем уравнение: $9 = 3 + n$. Решаем его: $n = 9 - 3 = 6$.
Ответ: 6

5) Для равенства $(\frac{k}{3})^{20} = (\frac{k}{3})^{10} \cdot (\frac{k}{3})^{*}$ используем свойство умножения степеней с основанием $(\frac{k}{3})$. Пусть искомый показатель равен $n$. Получаем уравнение: $20 = 10 + n$. Находим $n$: $n = 20 - 10 = 10$.
Ответ: 10

6) В этом примере $(1,3t)^{*} : (1,3t)^{8} = (1,3t)^{13}$ применяется свойство деления степеней с одинаковым основанием: $x^m : x^n = x^{m-n}$. Основание здесь $(1,3t)$. Обозначим искомый показатель за $n$. Получаем уравнение: $n - 8 = 13$. Чтобы найти $n$, прибавим 8 к 13: $n = 13 + 8 = 21$.
Ответ: 21

2.6. 1) $x^{40} = x^9 \cdot x^* \cdot x^{23};$

2) $a^* \cdot a^5 \cdot a^{23} = a^{41};$

3) $(ab)^* \cdot (ab) \cdot (ab)^9 = a^{14};$

4) $\left(\frac{c}{4}\right)^{20} \cdot \left(\frac{c}{4}\right)^* = \left(\frac{c}{4}\right) \cdot \left(\frac{c}{4}\right)^{25};$

5) $(-k)^5 \cdot (-k)^* \cdot (-k)^5 = (-k)^{15};$

6) $\left(\frac{2}{5}y\right)^6 \cdot \left(\frac{2}{5}y\right)^* = \left(\frac{2}{5}y\right) \cdot \left(\frac{2}{5}y\right)^8.$

1) Чтобы найти неизвестный множитель в уравнении $x^{40} = x^9 \cdot x^* \cdot x^{23}$, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Правая часть уравнения преобразуется к виду: $x^9 \cdot x^* \cdot x^{23} = x^{9+*+23} = x^{32+*}$.
Теперь уравнение выглядит так: $x^{40} = x^{32+*}$.
Поскольку основания степеней равны, их показатели также должны быть равны: $40 = 32 + *$.
Отсюда находим неизвестный показатель: $* = 40 - 32 = 8$.
Следовательно, пропущенный множитель — это $x^8$.
Ответ: $x^8$.

2) В уравнении $a^* \cdot a^5 \cdot a^{23} = a^{41}$ все степени имеют одинаковое основание $a$. Применим правило сложения показателей при умножении степеней: $a^{*+5+23} = a^{41}$.
Упростим показатель в левой части: $a^{*+28} = a^{41}$.
Приравниваем показатели степеней: $*+28 = 41$.
Находим неизвестное значение: $* = 41 - 28 = 13$.
Следовательно, пропущенный множитель — это $a^{13}$.
Ответ: $a^{13}$.

3) Исходное уравнение: $(ab)^* \cdot (ab) \cdot (ab)^9 = a^{14}$. В левой части основание степени — $(ab)$, а в правой — $a$. Вероятно, в условии допущена опечатка, и правая часть должна быть $(ab)^{14}$. Исходя из этого предположения, решим уравнение: $(ab)^* \cdot (ab)^1 \cdot (ab)^9 = (ab)^{14}$.
Складываем показатели в левой части: $(ab)^{*+1+9} = (ab)^{14}$, что даёт $(ab)^{*+10} = (ab)^{14}$.
Приравниваем показатели: $*+10 = 14$.
Находим неизвестное: $* = 14 - 10 = 4$.
Пропущенный множитель — это $(ab)^4$.
Ответ: $(ab)^4$.

4) В уравнении $(\frac{c}{4})^{20} \cdot (\frac{c}{4})^* = (\frac{c}{4}) \cdot (\frac{c}{4})^{25}$ преобразуем обе части, используя правило сложения показателей.
Левая часть: $(\frac{c}{4})^{20+*}$.
Правая часть: $(\frac{c}{4})^{1+25} = (\frac{c}{4})^{26}$.
Получаем равенство: $(\frac{c}{4})^{20+*} = (\frac{c}{4})^{26}$.
Приравниваем показатели: $20+* = 26$.
Находим неизвестное: $* = 26 - 20 = 6$.
Пропущенный множитель — это $(\frac{c}{4})^6$.
Ответ: $(\frac{c}{4})^6$.

5) В уравнении $(-k)^5 \cdot (-k)^* \cdot (-k)^5 = (-k)^{15}$ основание степени равно $(-k)$. Складываем показатели в левой части: $(-k)^{5+*+5} = (-k)^{15}$.
Упрощаем: $(-k)^{10+*} = (-k)^{15}$.
Приравниваем показатели: $10+* = 15$.
Находим неизвестное: $* = 15 - 10 = 5$.
Пропущенный множитель — это $(-k)^5$.
Ответ: $(-k)^5$.

6) В уравнении $(\frac{2}{5}y)^6 \cdot (\frac{2}{5}y)^* = (\frac{2}{5}y) \cdot (\frac{2}{5}y)^8$ упростим обе части уравнения.
Левая часть: $(\frac{2}{5}y)^{6+*}$.
Правая часть: $(\frac{2}{5}y)^{1+8} = (\frac{2}{5}y)^9$.
Получаем равенство: $(\frac{2}{5}y)^{6+*} = (\frac{2}{5}y)^9$.
Приравниваем показатели: $6+* = 9$.
Находим неизвестное: $* = 9 - 6 = 3$.
Пропущенный множитель — это $(\frac{2}{5}y)^3$.
Ответ: $(\frac{2}{5}y)^3$.

2.7.

1) $5^k \cdot 5^4;$

2) $6^m \cdot 6^{10};$

3) $1,7^7 \cdot 1,7^c;$

4) $(-4)^3 \cdot (-4)^d;$

5) $\left(\frac{6}{13}\right)^c \cdot \left(\frac{6}{13}\right)^6;$

6) $(-5,2)^9 \cdot (-5,2)^n.$

1) Чтобы перемножить степени с одинаковым основанием, необходимо основание оставить без изменений, а показатели степеней сложить. Это свойство степеней можно записать в виде формулы: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

В данном примере основание равно 5, а показатели степеней равны $k$ и 4.

Применяя правило, получаем: $5^k \cdot 5^4 = 5^{k+4}$.

Ответ: $5^{k+4}$.

2) Используем то же правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Основание в этом выражении равно 6, а показатели степеней — $m$ и 10.

Сложим показатели: $6^m \cdot 6^{10} = 6^{m+10}$.

Ответ: $6^{m+10}$.

3) В этом примере основание степени равно 1,7, а показатели — 7 и $c$.

Согласно правилу умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, имеем:

$1,7^7 \cdot 1,7^c = 1,7^{7+c}$.

Ответ: $1,7^{7+c}$.

4) Здесь основанием степени является число -4, а показателями — числа 3 и $d$.

Применяем правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$(-4)^3 \cdot (-4)^d = (-4)^{3+d}$.

Ответ: $(-4)^{3+d}$.

5) Основанием степени в данном случае является дробь $\frac{6}{13}$. Показатели степеней равны $c$ и 6.

Следуя правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели:

$(\frac{6}{13})^c \cdot (\frac{6}{13})^6 = (\frac{6}{13})^{c+6}$.

Ответ: $(\frac{6}{13})^{c+6}$.

6) В последнем примере основание степени равно -5,2, а показатели — 9 и $n$.

Используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$(-5,2)^9 \cdot (-5,2)^n = (-5,2)^{9+n}$.

Ответ: $(-5,2)^{9+n}$.

2.8.

1) $8^{4n} \cdot 8^n$;

2) $(-3)^{3k} \cdot (-3)^{8k}$;

3) $(\frac{8}{9})^{11t} \cdot (\frac{8}{9})^{6t}$;

4) $(6\frac{2}{3})^{9m} \cdot (6\frac{2}{3})^{9m}$;

5) $(-4,1)^{9t} \cdot (-4,1)^{9t}$;

6) $3,7^{8n} \cdot 3,7^{8n}$.

1) Чтобы перемножить степени с одинаковым основанием, необходимо основание оставить без изменений, а показатели степеней сложить. Это свойство выражается формулой $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном примере основание $a = 8$, а показатели степеней $m = 4n$ и $n = n$.
Применяем правило:
$8^{4n} \cdot 8^n = 8^{4n+n} = 8^{5n}$.
Ответ: $8^{5n}$.

2) Аналогично предыдущему примеру, используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием. Основание здесь равно $-3$, а показатели степеней — $3k$ и $8k$.
Выполняем сложение показателей:
$(-3)^{3k} \cdot (-3)^{8k} = (-3)^{3k+8k} = (-3)^{11k}$.
Ответ: $(-3)^{11k}$.

3) В этом выражении основанием степени является дробь $\frac{8}{9}$. Правило умножения степеней с одинаковым основанием остается тем же.
Складываем показатели степеней $11t$ и $6t$:
$(\frac{8}{9})^{11t} \cdot (\frac{8}{9})^{6t} = (\frac{8}{9})^{11t+6t} = (\frac{8}{9})^{17t}$.
Ответ: $(\frac{8}{9})^{17t}$.

4) Основанием степени является смешанное число $6\frac{2}{3}$. Показатели степеней у обоих множителей одинаковы и равны $9m$.
Складываем показатели:
$(6\frac{2}{3})^{9m} \cdot (6\frac{2}{3})^{9m} = (6\frac{2}{3})^{9m+9m} = (6\frac{2}{3})^{18m}$.
Ответ: $(6\frac{2}{3})^{18m}$.

5) Здесь основание степени — отрицательное десятичное число $-4,1$. Показатели степеней равны $9t$.
Складываем показатели степеней:
$(-4,1)^{9t} \cdot (-4,1)^{9t} = (-4,1)^{9t+9t} = (-4,1)^{18t}$.
Ответ: $(-4,1)^{18t}$.

6) Основание степени в этом примере — десятичное число $3,7$. Показатели степеней равны $8n$.
Применяем свойство умножения степеней, складывая показатели:
$3,7^{8n} \cdot 3,7^{8n} = 3,7^{8n+8n} = 3,7^{16n}$.
Ответ: $3,7^{16n}$.

Запишите в виде произведения трех степеней с одинаковыми основаниями степени (2.9–2.10):

2.9. 1) $15^{13n}$;

2) $(-42)^{8m}$;

3) $\left(\frac{9}{16}\right)^{20t}$;

4) $(-1,1)^{11k}$.

1) Чтобы представить степень $15^{13n}$ в виде произведения трех степеней с одинаковым основанием, необходимо ее показатель, $13n$, представить в виде суммы трех слагаемых. Поскольку существует бесконечное множество способов это сделать, выберем один из них, например: $13n = n + 5n + 7n$.
Далее, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^{x+y+z} = a^x \cdot a^y \cdot a^z$), мы можем записать:
$15^{13n} = 15^{n + 5n + 7n} = 15^n \cdot 15^{5n} \cdot 15^{7n}$.
Ответ: $15^n \cdot 15^{5n} \cdot 15^{7n}$.

2) Для степени $(-42)^{8m}$ основание равно $-42$, а показатель — $8m$. Представим показатель $8m$ в виде суммы трех слагаемых. Например: $8m = m + 3m + 4m$.
Тогда исходное выражение можно записать в виде произведения трех степеней:
$(-42)^{8m} = (-42)^{m + 3m + 4m} = (-42)^m \cdot (-42)^{3m} \cdot (-42)^{4m}$.
Ответ: $(-42)^m \cdot (-42)^{3m} \cdot (-42)^{4m}$.

3) В выражении $(\frac{9}{16})^{20t}$ основанием является дробь $\frac{9}{16}$, а показателем — $20t$. Разложим показатель $20t$ на три слагаемых, например: $20t = 5t + 5t + 10t$.
Применяя свойство степеней, получаем:
$(\frac{9}{16})^{20t} = (\frac{9}{16})^{5t + 5t + 10t} = (\frac{9}{16})^{5t} \cdot (\frac{9}{16})^{5t} \cdot (\frac{9}{16})^{10t}$.
Ответ: $(\frac{9}{16})^{5t} \cdot (\frac{9}{16})^{5t} \cdot (\frac{9}{16})^{10t}$.

4) Для степени $(-1,1)^{11k}$ основание равно $-1,1$, а показатель — $11k$. Представим показатель $11k$ в виде суммы трех слагаемых, например: $11k = k + 2k + 8k$.
Следовательно, выражение можно переписать как произведение трех степеней:
$(-1,1)^{11k} = (-1,1)^{k + 2k + 8k} = (-1,1)^k \cdot (-1,1)^{2k} \cdot (-1,1)^{8k}$.
Ответ: $(-1,1)^k \cdot (-1,1)^{2k} \cdot (-1,1)^{8k}$.