Страница 31 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.3.

1) $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot c \cdot c \cdot c$;

2) $0,6 \cdot 0,6 \cdot d \cdot d \cdot d \cdot d \cdot d$;

3) $k \cdot k \cdot k \cdot s \cdot s \cdot s \cdot s \cdot s$;

4) $\frac{t}{m} \cdot \frac{t}{m} \cdot \frac{t}{m} \cdot n \cdot n \cdot n$;

5) $(2 - b) \cdot (2 - b) \cdot (2 - b) \cdot (2 - b) \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y.$

1) Чтобы представить произведение в виде степени, необходимо сгруппировать одинаковые множители и посчитать их количество. В данном выражении множитель 10 повторяется 4 раза. Произведение четырех одинаковых множителей, равных 10, записывается в виде степени $10^4$, где 10 – основание степени, а 4 – показатель степени. Множитель c повторяется также 4 раза, что можно записать в виде степени $c^4$. Объединив результаты, получаем итоговое выражение: $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot c \cdot c \cdot c \cdot c = 10^4 c^4$.
Ответ: $10^4 c^4$

2) В данном выражении десятичная дробь 0,6 умножается сама на себя 2 раза. Это произведение можно записать в виде степени $(0,6)^2$. Важно использовать скобки, чтобы показать, что в степень возводится вся дробь, а не только ее последняя цифра. Переменная d является множителем 5 раз, что соответствует степени $d^5$. Таким образом, исходное выражение преобразуется в произведение двух степеней: $0,6 \cdot 0,6 \cdot d \cdot d \cdot d \cdot d \cdot d = (0,6)^2 d^5$.
Ответ: $(0,6)^2 d^5$

3) В этом произведении есть два разных множителя: k и s. Сначала посчитаем количество повторений множителя k. Он встречается 3 раза, поэтому его можно записать как $k^3$. Затем посчитаем количество множителей s. Он встречается 5 раз, что соответствует степени $s^5$. Исходное выражение равно произведению этих двух степеней: $k \cdot k \cdot k \cdot s \cdot s \cdot s \cdot s \cdot s = k^3 s^5$.
Ответ: $k^3 s^5$

4) Данное выражение содержит дробный множитель $\frac{t}{m}$ и множитель n. Дробь $\frac{t}{m}$ умножается сама на себя 3 раза. Это записывается как степень $(\frac{t}{m})^3$. Скобки необходимы, чтобы показать, что в степень возводится вся дробь целиком. Переменная n повторяется в произведении 4 раза, что записывается как $n^4$. В результате получаем произведение степеней: $\frac{t}{m} \cdot \frac{t}{m} \cdot \frac{t}{m} \cdot n \cdot n \cdot n \cdot n = (\frac{t}{m})^3 n^4$.
Ответ: $(\frac{t}{m})^3 n^4$

5) В этом примере одним из множителей является целое выражение в скобках $(2 - b)$. Этот множитель повторяется 4 раза, поэтому его можно записать в виде степени $(2-b)^4$. Второй множитель – переменная y, которая повторяется 6 раз. Это соответствует степени $y^6$. Итоговое выражение является произведением полученных степеней: $(2 - b) \cdot (2 - b) \cdot (2 - b) \cdot (2 - b) \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y = (2-b)^4 y^6$.
Ответ: $(2-b)^4 y^6$

Запишите в виде произведения одинаковых множителей степени (1.4–1.5):

1.4. 1) $23^5$;

2) $(-\frac{9}{17})^6$;

3) $7,3^4$;

4) $(-0,1)^7$.

1) Степень числа — это результат многократного умножения числа на себя. В выражении $23^5$, число 23 является основанием степени, а число 5 — показателем степени. Чтобы записать данную степень в виде произведения одинаковых множителей, необходимо умножить основание 23 само на себя столько раз, сколько указывает показатель, то есть 5 раз.
$23^5 = 23 \cdot 23 \cdot 23 \cdot 23 \cdot 23$.
Ответ: $23 \cdot 23 \cdot 23 \cdot 23 \cdot 23$.

2) В данном случае основанием степени является дробь $\frac{9}{17}$, а показателем степени — число 6. Это означает, что дробь $\frac{9}{17}$ нужно умножить саму на себя 6 раз.
$(\frac{9}{17})^6 = \frac{9}{17} \cdot \frac{9}{17} \cdot \frac{9}{17} \cdot \frac{9}{17} \cdot \frac{9}{17} \cdot \frac{9}{17}$.
Ответ: $\frac{9}{17} \cdot \frac{9}{17} \cdot \frac{9}{17} \cdot \frac{9}{17} \cdot \frac{9}{17} \cdot \frac{9}{17}$.

3) Основанием степени в выражении $7,3^4$ является десятичная дробь 7,3, а показателем — число 4. Чтобы представить это выражение в виде произведения, нужно умножить 7,3 само на себя 4 раза.
$7,3^4 = 7,3 \cdot 7,3 \cdot 7,3 \cdot 7,3$.
Ответ: $7,3 \cdot 7,3 \cdot 7,3 \cdot 7,3$.

4) В выражении $(-0,1)^7$ основанием является отрицательное число -0,1, а показателем — число 7. Для записи в виде произведения, нужно умножить -0,1 само на себя 7 раз.
$(-0,1)^7 = (-0,1) \cdot (-0,1) \cdot (-0,1) \cdot (-0,1) \cdot (-0,1) \cdot (-0,1) \cdot (-0,1)$.
Ответ: $(-0,1) \cdot (-0,1) \cdot (-0,1) \cdot (-0,1) \cdot (-0,1) \cdot (-0,1) \cdot (-0,1)$.

1.5.

1) $(3c)^5;$

2) $\left(t - \frac{5}{14}\right)^3;$

3) $(8s + 1)^4;$

4) $\left(\frac{2}{7}ab\right)^4;$

5) $(n + m)^6;$

6) $(0,9kst)^3.$

1)

Чтобы возвести произведение в степень, необходимо каждый множитель возвести в эту степень. Используем свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$.

$(3c)^5 = 3^5 \cdot c^5$

Вычислим $3^5$:

$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$

Следовательно, получаем:

$(3c)^5 = 243c^5$

Ответ: $243c^5$.

2)

Для раскрытия скобок применим формулу сокращенного умножения "куб разности": $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

В данном случае $a = t$ и $b = \frac{5}{14}$. Подставим эти значения в формулу:

$(t - \frac{5}{14})^3 = t^3 - 3 \cdot t^2 \cdot \frac{5}{14} + 3 \cdot t \cdot (\frac{5}{14})^2 - (\frac{5}{14})^3$

Теперь упростим полученное выражение, вычисляя коэффициенты и степени:

$t^3 - \frac{15}{14}t^2 + 3t(\frac{5^2}{14^2}) - \frac{5^3}{14^3} = t^3 - \frac{15}{14}t^2 + 3t\frac{25}{196} - \frac{125}{2744} = t^3 - \frac{15}{14}t^2 + \frac{75}{196}t - \frac{125}{2744}$

Ответ: $t^3 - \frac{15}{14}t^2 + \frac{75}{196}t - \frac{125}{2744}$.

3)

Для возведения двучлена в четвертую степень используем формулу бинома Ньютона: $(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$.

В нашем выражении $a = 8s$ и $b = 1$. Подставим их в формулу:

$(8s + 1)^4 = (8s)^4 + 4(8s)^3 \cdot 1 + 6(8s)^2 \cdot 1^2 + 4(8s) \cdot 1^3 + 1^4$

Упростим каждый член выражения, выполняя возведение в степень и умножение:

$8^4s^4 + 4 \cdot 8^3s^3 + 6 \cdot 8^2s^2 + 4 \cdot 8s + 1 = 4096s^4 + 4 \cdot 512s^3 + 6 \cdot 64s^2 + 32s + 1 = 4096s^4 + 2048s^3 + 384s^2 + 32s + 1$

Ответ: $4096s^4 + 2048s^3 + 384s^2 + 32s + 1$.

4)

Применим свойство возведения произведения в степень: $(xyz)^n = x^n y^n z^n$.

$(\frac{2}{7}ab)^4 = (\frac{2}{7})^4 \cdot a^4 \cdot b^4$

Вычислим значение дроби в четвертой степени:

$(\frac{2}{7})^4 = \frac{2^4}{7^4} = \frac{16}{2401}$

В результате получаем:

$(\frac{2}{7}ab)^4 = \frac{16}{2401}a^4b^4$

Ответ: $\frac{16}{2401}a^4b^4$.

5)

Для раскрытия скобок используем формулу бинома Ньютона для шестой степени: $(a+b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$. Коэффициенты $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$ берутся из соответствующей строки треугольника Паскаля.

В нашем случае $a = n$ и $b = m$. Подставляя в формулу, получаем:

$(n + m)^6 = n^6 + 6n^5m + 15n^4m^2 + 20n^3m^3 + 15n^2m^4 + 6nm^5 + m^6$

Ответ: $n^6 + 6n^5m + 15n^4m^2 + 20n^3m^3 + 15n^2m^4 + 6nm^5 + m^6$.

6)

Используем свойство возведения произведения в степень, по которому каждый множитель возводится в эту степень: $(xyzw)^n = x^n y^n z^n w^n$.

$(0,9kst)^3 = (0,9)^3 \cdot k^3 \cdot s^3 \cdot t^3$

Вычислим куб числа $0,9$:

$(0,9)^3 = 0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,9 = 0,81 \cdot 0,9 = 0,729$

Таким образом, итоговое выражение:

$(0,9kst)^3 = 0,729k^3s^3t^3$

Ответ: $0,729k^3s^3t^3$.

Вычислите (1.6–1.8):

1.6. 1) $6^3$; 2) $1,4^3$; 3) $(-8)^4$; 4) $(-\frac{2}{3})^4$; 5) $(-0,2)^5$.

1) Чтобы вычислить $6^3$, необходимо умножить число 6 на само себя три раза.

$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$.

Ответ: 216.

2) Чтобы вычислить $1,4^3$, необходимо умножить число 1,4 на само себя три раза.

$1,4^3 = 1,4 \cdot 1,4 \cdot 1,4$.

Сначала вычислим произведение $1,4 \cdot 1,4 = 1,96$.

Затем умножим полученный результат на 1,4: $1,96 \cdot 1,4 = 2,744$.

Ответ: 2,744.

3) Чтобы вычислить $(-8)^4$, необходимо умножить число -8 на само себя четыре раза. Так как основание степени отрицательное, а показатель степени — четное число (4), результат будет положительным.

$(-8)^4 = (-8) \cdot (-8) \cdot (-8) \cdot (-8) = 8^4$.

$8^4 = (8^2)^2 = 64^2 = 64 \cdot 64 = 4096$.

Ответ: 4096.

4) Чтобы вычислить $(-\frac{2}{3})^4$, необходимо возвести в четвертую степень и числитель, и знаменатель дроби. Так как основание степени отрицательное, а показатель степени — четное число (4), результат будет положительным.

$(-\frac{2}{3})^4 = \frac{(-2)^4}{3^4} = \frac{16}{81}$.

Ответ: $\frac{16}{81}$.

5) Чтобы вычислить $(-0,2)^5$, необходимо умножить число -0,2 на само себя пять раз. Так как основание степени отрицательное, а показатель степени — нечетное число (5), результат будет отрицательным.

$(-0,2)^5 = -(0,2^5) = -(0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2)$.

Вычислим $2^5 = 32$. В исходном числе 0,2 один знак после запятой. При возведении в пятую степень в итоговом числе будет $1 \cdot 5 = 5$ знаков после запятой. Следовательно, $0,2^5 = 0,00032$.

Учитывая знак, получаем: $(-0,2)^5 = -0,00032$.

Ответ: -0,00032.

1.7.

1) $10^4$;

2) $(-0,7)^3$;

3) $(-\frac{3}{4})^4$;

4) $(1\frac{4}{5})^3$.

1) Чтобы возвести число 10 в степень 4, нужно умножить это число само на себя четыре раза. Возведение в степень — это многократное умножение.
$10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 100 \times 100 = 10000$.
Ответ: 10000.

2) Необходимо возвести отрицательное число -0,7 в степень 3. Так как показатель степени (3) является нечетным числом, результат будет отрицательным.
$(-0,7)^3 = (-0,7) \times (-0,7) \times (-0,7)$.
Вычислим сначала произведение модулей: $0,7 \times 0,7 = 0,49$.
Затем $0,49 \times 0,7 = 0,343$.
Учитывая знак, получаем: $(-0,7)^3 = -0,343$.
Ответ: -0,343.

3) Необходимо возвести отрицательную дробь $-\frac{3}{4}$ в степень 4. Так как показатель степени (4) является четным числом, результат будет положительным.
$(-\frac{3}{4})^4 = (\frac{3}{4})^4$.
Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель:
$(\frac{3}{4})^4 = \frac{3^4}{4^4}$.
Вычислим числитель: $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$.
Вычислим знаменатель: $4^4 = 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 16 \times 16 = 256$.
Результат: $\frac{81}{256}$.
Ответ: $\frac{81}{256}$.

4) Необходимо возвести смешанное число $1\frac{4}{5}$ в степень 3. Для этого сначала преобразуем его в неправильную дробь.
$1\frac{4}{5} = \frac{1 \times 5 + 4}{5} = \frac{9}{5}$.
Теперь возводим полученную дробь в степень 3:
$(\frac{9}{5})^3 = \frac{9^3}{5^3}$.
Вычислим числитель: $9^3 = 9 \times 9 \times 9 = 81 \times 9 = 729$.
Вычислим знаменатель: $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 25 \times 5 = 125$.
Получили неправильную дробь $\frac{729}{125}$.
Чтобы представить ответ в виде смешанного числа, разделим числитель на знаменатель с остатком:
$729 \div 125 = 5$ (целая часть), остаток $729 - 5 \times 125 = 729 - 625 = 104$.
Таким образом, результат равен $5\frac{104}{125}$.
Ответ: $5\frac{104}{125}$.

1.8.1)

1) $ (-2,8)^3 $; 2) $ (2\frac{1}{2})^5 $; 3) $ 7^4 $; 4) $ 1,1^3 $; 5) $ (-\frac{3}{5})^5 $.

1) Чтобы возвести число $-2,8$ в третью степень, нужно умножить это число само на себя три раза. Так как показатель степени нечетный (3), а основание отрицательное, результат будет отрицательным.

$(-2,8)^3 = (-2,8) \cdot (-2,8) \cdot (-2,8)$

Сначала вычислим $2,8^2$: $2,8 \cdot 2,8 = 7,84$.

Затем умножим результат на $2,8$: $7,84 \cdot 2,8 = 21,952$.

Так как результат должен быть отрицательным, получаем: $(-2,8)^3 = -21,952$.

Ответ: $-21,952$

2) Чтобы возвести смешанное число $2\frac{1}{2}$ в пятую степень, сначала преобразуем его в неправильную дробь.

$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$

Теперь возведем полученную дробь в пятую степень. Для этого нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель.

$( \frac{5}{2} )^5 = \frac{5^5}{2^5}$

Вычислим $5^5$: $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 25 \cdot 5 = 625 \cdot 5 = 3125$.

Вычислим $2^5$: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Таким образом, $(2\frac{1}{2})^5 = \frac{3125}{32}$. Эту дробь можно представить в виде смешанного числа: $97\frac{21}{32}$.

Ответ: $\frac{3125}{32}$

3) Чтобы вычислить $7^4$, нужно умножить число 7 само на себя четыре раза.

$7^4 = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$

$7 \cdot 7 = 49$

$49 \cdot 7 = 343$

$343 \cdot 7 = 2401$

Ответ: $2401$

4) Чтобы возвести число $1,1$ в третью степень, нужно умножить это число само на себя три раза.

$1,1^3 = 1,1 \cdot 1,1 \cdot 1,1$

$1,1 \cdot 1,1 = 1,21$

$1,21 \cdot 1,1 = 1,331$

Ответ: $1,331$

5) Чтобы возвести дробь $(-\frac{3}{5})$ в пятую степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель. Так как показатель степени нечетный (5), а основание отрицательное, результат будет отрицательным.

$(-\frac{3}{5})^5 = -(\frac{3}{5})^5 = -\frac{3^5}{5^5}$

Вычислим $3^5$: $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$.

Вычислим $5^5$: $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 3125$.

Таким образом, $(-\frac{3}{5})^5 = -\frac{243}{3125}$.

Ответ: $-\frac{243}{3125}$

Выполните действия (1.9–1.11):

1.9. 1) $5^2 - 200;$

2) $13 - 3^3;$

3) $20 + 2^6;$

4) $2^4 - 3^2.$

1) Для вычисления выражения $5^2 - 200$ сначала выполним операцию возведения в степень, так как она имеет более высокий приоритет, чем вычитание.
$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
Теперь выполним вычитание:
$25 - 200 = -175$.
Ответ: $-175$

2) В выражении $13 - 3^3$ сначала необходимо вычислить степень.
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$.
Далее выполняем вычитание:
$13 - 27 = -14$.
Ответ: $-14$

3) В выражении $20 + 2^6$ сначала выполняется возведение в степень.
$2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$.
Теперь выполним сложение:
$20 + 64 = 84$.
Ответ: $84$

4) В выражении $2^4 - 3^2$ сначала вычисляем обе степени.
$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.
Затем выполняем вычитание полученных результатов:
$16 - 9 = 7$.
Ответ: $7$

1.10.

1)

$(\frac{1}{2})^5 + \frac{29}{32};$

2)

$(-\frac{1}{3})^3 + \frac{22}{27};$

3)

$(\frac{2}{5})^2 + \frac{11}{25};$

4)

$(1,2)^2 + 2,06;$

5)

$(0,4)^4 - 1;$

6)

$20 - (1,4)^2.$

1) Сначала необходимо возвести дробь в пятую степень: $(\frac{1}{2})^5 = \frac{1^5}{2^5} = \frac{1}{32}$. Теперь выполним сложение дробей с одинаковым знаменателем: $\frac{1}{32} + \frac{29}{32} = \frac{1 + 29}{32} = \frac{30}{32}$. В завершение сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2: $\frac{30 \div 2}{32 \div 2} = \frac{15}{16}$.
Ответ: $\frac{15}{16}$.

2) Первым шагом возведем отрицательную дробь в третью (нечетную) степень, поэтому результат будет отрицательным: $(-\frac{1}{3})^3 = -\frac{1^3}{3^3} = -\frac{1}{27}$. Далее выполним сложение дробей: $-\frac{1}{27} + \frac{22}{27} = \frac{-1 + 22}{27} = \frac{21}{27}$. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $\frac{21 \div 3}{27 \div 3} = \frac{7}{9}$.
Ответ: $\frac{7}{9}$.

3) Сначала возведем дробь в квадрат: $(\frac{2}{5})^2 = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25}$. После этого сложим дроби с одинаковым знаменателем: $\frac{4}{25} + \frac{11}{25} = \frac{4 + 11}{25} = \frac{15}{25}$. Сократим результат, разделив числитель и знаменатель на 5: $\frac{15 \div 5}{25 \div 5} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$.

4) Первым действием возведем десятичную дробь в квадрат: $(1,2)^2 = 1,2 \cdot 1,2 = 1,44$. Затем выполним сложение десятичных дробей: $1,44 + 2,06 = 3,5$.
Ответ: $3,5$.

5) Сначала вычислим значение степени: $(0,4)^4 = 0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,4 = 0,16 \cdot 0,16 = 0,0256$. Теперь выполним вычитание: $0,0256 - 1 = -0,9744$.
Ответ: $-0,9744$.

6) В первую очередь необходимо выполнить возведение в степень: $(1,4)^2 = 1,4 \cdot 1,4 = 1,96$. Затем выполним вычитание: $20 - 1,96 = 18,04$.
Ответ: $18,04$.

1.11.

1) $3^5 - 2^6 : 40$;

2) $4^4 : 1000 - 0,3$;

3) $7^2 \cdot 2^3 + 608$;

4) $8^2 \cdot 3^3 - 728$.

1) Для решения выражения $3^5 - 2^6 : 40$ необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются возведение в степень, затем деление, и в последнюю очередь вычитание.

1. Возводим числа в степень:
$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$
$2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$

2. Подставляем полученные значения в выражение:
$243 - 64 : 40$

3. Выполняем деление:
$64 : 40 = 1,6$

4. Выполняем вычитание:
$243 - 1,6 = 241,4$

Ответ: $241,4$.

2) Для решения выражения $4^4 : 1000 - 0,3$ действуем в следующем порядке: возведение в степень, деление, вычитание.

1. Возводим в степень:
$4^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 256$

2. Подставляем значение в выражение:
$256 : 1000 - 0,3$

3. Выполняем деление:
$256 : 1000 = 0,256$

4. Выполняем вычитание:
$0,256 - 0,3 = -0,044$

Ответ: $-0,044$.

3) В выражении $7^2 \cdot 2^3 + 608$ сначала вычисляем степени, затем выполняем умножение и после этого сложение.

1. Возводим числа в степень:
$7^2 = 7 \cdot 7 = 49$
$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

2. Подставляем полученные значения:
$49 \cdot 8 + 608$

3. Выполняем умножение:
$49 \cdot 8 = 392$

4. Выполняем сложение:
$392 + 608 = 1000$

Ответ: $1000$.

4) В выражении $8^2 \cdot 3^3 - 728$ сначала вычисляем степени, затем выполняем умножение и после этого вычитание.

1. Возводим числа в степень:
$8^2 = 8 \cdot 8 = 64$
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$

2. Подставляем полученные значения:
$64 \cdot 27 - 728$

3. Выполняем умножение:
$64 \cdot 27 = 1728$

4. Выполняем вычитание:
$1728 - 728 = 1000$

Ответ: $1000$.

1.12. Упростите выражение, используя запись в виде степени произведения:

1) $\underbrace{15 \cdot 15 \cdot \ldots \cdot 15}_{\text{15 раз}} \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{\text{22 раза}}$; 2) $\underbrace{2,8 \cdot 2,8 \cdot \ldots \cdot 2,8}_{\text{10 раз}} \cdot \underbrace{c \cdot c \cdot \ldots \cdot c}_{\text{37 раз}}$;

3) $\underbrace{\frac{10}{19} \cdot \frac{10}{19} \cdot \ldots \cdot \frac{10}{19}}_{\text{18 раз}} \cdot \underbrace{y \cdot y \cdot \ldots \cdot y}_{\text{11 раз}}$; 4) $\underbrace{(-7) \cdot (-7) \cdot \ldots \cdot (-7)}_{\text{15 раз}} \cdot \underbrace{z \cdot z \cdot \ldots \cdot z}_{\text{22 раза}}$;

5) $\underbrace{24 \cdot 24 \cdot \ldots \cdot 24}_{\text{20 раз}} \cdot \underbrace{(x+3)(x+3) \cdot \ldots \cdot (x+3)}_{\text{43 раза}}$;

6) $\underbrace{\frac{d}{4} \cdot \frac{d}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{d}{4}}_{\text{19 раз}} \cdot \underbrace{t \cdot t \cdot \ldots \cdot t}_{\text{50 раз}}$.

1) Данное выражение представляет собой произведение двух частей. Первая часть — это число 15, умноженное само на себя 15 раз. Такое произведение записывается в виде степени, где основанием является число 15, а показателем — количество повторений, то есть 15. Получаем $15^{15}$. Вторая часть — это переменная a, умноженная сама на себя 22 раза. Это записывается как степень $a^{22}$. Итоговое выражение является произведением этих двух степеней.
Ответ: $15^{15}a^{22}$

2) Выражение состоит из произведения числа 2,8 на само себя 10 раз и произведения переменной c на саму себя 37 раз. Произведение 2,8 на себя 10 раз записывается как степень $(2,8)^{10}$. Произведение переменной c на себя 37 раз записывается как степень $c^{37}$. Таким образом, все выражение можно записать как произведение этих двух степеней.
Ответ: $(2,8)^{10}c^{37}$

3) В этом выражении дробь $\frac{10}{19}$ умножается сама на себя 18 раз, что можно записать в виде степени $(\frac{10}{19})^{18}$. Переменная y умножается сама на себя 11 раз, что записывается как $y^{11}$. Объединяя эти две части, получаем произведение степеней.
Ответ: $(\frac{10}{19})^{18}y^{11}$

4) Здесь отрицательное число (–7) умножается на себя 15 раз. Это записывается как степень $(-7)^{15}$. Важно сохранить скобки, чтобы показать, что в степень возводится именно отрицательное число. Переменная z умножается на себя 22 раза, что дает степень $z^{22}$. Итоговое выражение — это произведение полученных степеней.
Ответ: $(-7)^{15}z^{22}$

5) Выражение содержит произведение числа 24 на себя 20 раз, что равно $24^{20}$. Также оно содержит произведение выражения (x+3) на себя 43 раза. Это записывается как степень $(x+3)^{43}$. Все выражение представляет собой произведение этих двух степеней.
Ответ: $24^{20}(x+3)^{43}$

6) В последнем выражении дробь $\frac{d}{4}$ умножается сама на себя 19 раз, что записывается в виде степени $(\frac{d}{4})^{19}$. Переменная t умножается на себя 50 раз, что записывается как $t^{50}$. Таким образом, итоговое упрощенное выражение является произведением этих двух степеней.
Ответ: $(\frac{d}{4})^{19}t^{50}$