Страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Каким свойством обладает умножение степеней с одинаковыми основаниями?

1. Какое (положительное или отрицательное) число получится при умножении двух степеней с нечетными показателями и отрицательными одинаковыми основаниями?

2. Какими числами могут быть основания степеней, чтобы можно было применить правило умножения степеней с одинаковыми основаниями? Какими при этом могут быть показатели этих степеней?

Умножение степеней с одинаковыми основаниями обладает следующим свойством: при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают. В виде формулы это свойство записывается так: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

1. Какое (положительное или отрицательное) число получится при умножении двух степеней с нечетными показателями и отрицательными одинаковыми основаниями?
Пусть у нас есть две степени с одинаковым отрицательным основанием $a$ (где $a < 0$) и нечетными показателями $m$ и $n$.
Согласно свойству умножения степеней, их произведение равно $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Рассмотрим показатель получившейся степени, который равен сумме $m+n$. Сумма двух нечетных чисел всегда является четным числом. Например, $3+5=8$ или $1+7=8$.
Таким образом, нам нужно возвести отрицательное основание $a$ в четную степень $m+n$.
Возведение любого отрицательного числа в четную степень дает в результате положительное число. Например, $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$.
Следовательно, при умножении двух степеней с нечетными показателями и одинаковыми отрицательными основаниями всегда получится положительное число.
Пример: $(-3)^3 \cdot (-3)^5 = (-3)^{3+5} = (-3)^8 = 6561$.
Ответ: положительное.

2. Какими числами могут быть основания степеней, чтобы можно было применить правило умножения степеней с одинаковыми основаниями? Какими при этом могут быть показатели этих степеней?
Применимость правила $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ зависит от того, какие значения могут принимать показатели степеней $m$ и $n$.
1. Если показатели степеней – натуральные числа (т.е. $1, 2, 3, \dots$), то основание $a$ может быть любым действительным числом (положительным, отрицательным или нулем).
2. Если показатели степеней – целые числа (т.е. $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$), то основание $a$ должно быть любым действительным числом, кроме нуля ($a \neq 0$). Это связано с тем, что степень с отрицательным показателем ($a^{-k} = 1/a^k$) и нулевая степень ($a^0=1$) не определены для основания, равного нулю.
3. Если показатели степеней – рациональные или действительные числа, то для общего случая принято считать, что основание $a$ должно быть положительным числом ($a > 0$). Это ограничение вводится, чтобы избежать таких выражений, как $(-4)^{1/2} = \sqrt{-4}$, которые не являются действительными числами, и других сложностей, связанных с корнями из отрицательных чисел.
Ответ: Основания степеней могут быть любыми действительными числами, если показатели – натуральные числа. Если показатели – целые числа, то основание не может быть нулем. Если показатели – рациональные или действительные числа, то основание должно быть положительным.