Страница 39 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.2. 1) $(-8)^{50} : (-8)^{30};$

2) $\left(\frac{3}{14}\right)^{3} : \left(\frac{3}{14}\right)^{2};$

3) $(4,1)^{81} : (4,1)^{72};$

4) $\left(\frac{a}{3}\right)^{31} : \left(\frac{a}{3}\right)^{21};$

5) $(-k)^{38} : (-k)^{37};$

6) $(-6,8)^{43} : (-6,8)^{42}.$

1) Чтобы разделить степени с одинаковым основанием, необходимо основание оставить без изменений, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя. Это свойство степеней можно записать в виде формулы: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
В данном примере основанием является $a = -8$, показатель степени делимого $m = 50$, а показатель степени делителя $n = 30$.
Применим правило:
$(-8)^{50} : (-8)^{30} = (-8)^{50-30} = (-8)^{20}$.
Так как показатель степени 20 является четным числом, то отрицательное основание в четной степени даст положительный результат. Следовательно, $(-8)^{20}$ можно записать как $8^{20}$.
Ответ: $8^{20}$.

2) Для решения этого примера используется то же свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Здесь основание $a = \frac{3}{14}$, показатель степени делимого $m = 3$, а показатель степени делителя $n = 2$.
Выполним вычисление:
$(\frac{3}{14})^3 : (\frac{3}{14})^2 = (\frac{3}{14})^{3-2} = (\frac{3}{14})^1 = \frac{3}{14}$.
Ответ: $\frac{3}{14}$.

3) Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
В этом выражении основание $a = 4,1$, показатели степеней $m = 81$ и $n = 72$.
Выполним вычитание показателей степеней:
$(4,1)^{81} : (4,1)^{72} = (4,1)^{81-72} = (4,1)^9$.
Ответ: $(4,1)^9$.

4) Используем свойство деления степеней: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Основанием степени является дробь $a_{base} = \frac{a}{3}$, показатели степеней равны $m = 31$ и $n = 21$.
Вычисляем:
$(\frac{a}{3})^{31} : (\frac{a}{3})^{21} = (\frac{a}{3})^{31-21} = (\frac{a}{3})^{10}$.
Ответ: $(\frac{a}{3})^{10}$.

5) Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Основание степени $a = -k$, показатели степеней $m = 38$ и $n = 37$.
Вычисляем:
$(-k)^{38} : (-k)^{37} = (-k)^{38-37} = (-k)^1 = -k$.
Ответ: $-k$.

6) Используем то же правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Основание степени $a = -6,8$, показатели степеней $m = 43$ и $n = 42$.
Вычисляем:
$(-6,8)^{43} : (-6,8)^{42} = (-6,8)^{43-42} = (-6,8)^1 = -6,8$.
Ответ: $-6,8$.

3.3.

1) $(9+x)^6 : (9+x)^4$;

2) $(m-n)^9 : (m-n)^5$;

3) $(2x-1)^7 : (2x-1)^4$;

4) $(\frac{a}{5}-3)^{25} : (\frac{a}{5}-3)^{23}$;

5) $(4+\frac{b}{6})^{10} : (4+\frac{b}{6})$;

6) $(8,8-c)^{44} : (8,8-c)^{34}$.

1) Для решения данного примера воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием. Правило гласит: при делении степеней с одинаковым основанием, основание остается без изменений, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя. Это можно записать в виде формулы: $a^m : a^n = a^{m-n}$. В нашем случае основание $a = (9 + x)$, показатель степени делимого $m = 6$, а показатель степени делителя $n = 4$. Применяя формулу, получаем: $(9 + x)^6 : (9 + x)^4 = (9 + x)^{6-4} = (9 + x)^2$.
Ответ: $(9 + x)^2$

2) Используем то же свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$. Здесь основание $a = (m - n)$, показатель степени делимого $m = 9$, показатель степени делителя $n = 5$. Выполним вычисление: $(m - n)^9 : (m - n)^5 = (m - n)^{9-5} = (m - n)^4$.
Ответ: $(m - n)^4$

3) Применяем правило деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$. Основание степени в этом примере $a = (2x - 1)$, показатели степеней $m = 7$ и $n = 4$. Подставляем значения в формулу: $(2x - 1)^7 : (2x - 1)^4 = (2x - 1)^{7-4} = (2x - 1)^3$.
Ответ: $(2x - 1)^3$

4) Снова используем правило $a^m : a^n = a^{m-n}$. Основание степени $a = (\frac{a}{5} - 3)$, показатели степеней $m = 25$ и $n = 23$. Производим вычитание показателей: $(\frac{a}{5} - 3)^{25} : (\frac{a}{5} - 3)^{23} = (\frac{a}{5} - 3)^{25-23} = (\frac{a}{5} - 3)^2$.
Ответ: $(\frac{a}{5} - 3)^2$

5) В данном выражении делитель $(4 + \frac{b}{6})$ не имеет видимого показателя степени. Любое число или выражение без показателя степени считается находящимся в первой степени, то есть $(4 + \frac{b}{6}) = (4 + \frac{b}{6})^1$. Теперь мы можем применить правило деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$. Основание $a = (4 + \frac{b}{6})$, показатели $m = 10$ и $n = 1$. $(4 + \frac{b}{6})^{10} : (4 + \frac{b}{6})^1 = (4 + \frac{b}{6})^{10-1} = (4 + \frac{b}{6})^9$.
Ответ: $(4 + \frac{b}{6})^9$

6) Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$. Основание $a = (8,8 - c)$, показатели степеней $m = 44$ и $n = 34$. Выполняем вычитание показателей степеней: $(8,8 - c)^{44} : (8,8 - c)^{34} = (8,8 - c)^{44-34} = (8,8 - c)^{10}$.
Ответ: $(8,8 - c)^{10}$

Запишите в виде частного двух степеней с одинаковыми основаниями степени (3.4-3.5):

3.4. 1) $50^{22}$;

2) $(\frac{7}{3})^{10}$;

3) $(-7,2)^{34}$;

4) $(-\frac{8}{9})^{41}$.

1)

Чтобы представить степень в виде частного двух степеней с одинаковым основанием, используется свойство частного степеней: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Для выражения $50^{22}$ основание $a=50$, а показатель степени $k=22$. Нам необходимо найти два числа $m$ и $n$ такие, что $m - n = 22$. Существует бесконечное количество таких пар. Например, выберем $n=10$. Тогда $m = 22 + 10 = 32$. Таким образом, мы получаем:

$50^{22} = 50^{32-10} = \frac{50^{32}}{50^{10}}$

Ответ: $\frac{50^{32}}{50^{10}}$ (существуют и другие решения, например $\frac{50^{23}}{50^1}$).

2)

Для выражения $(\frac{7}{3})^{10}$ основание $a=\frac{7}{3}$ и показатель степени $k=10$. Нам нужно найти такие показатели $m$ и $n$, чтобы выполнялось равенство $m-n=10$. Возьмем, к примеру, $n=5$. Тогда $m = 10 + 5 = 15$. Следовательно, выражение можно представить в виде частного:

$(\frac{7}{3})^{10} = (\frac{7}{3})^{15-5} = \frac{(\frac{7}{3})^{15}}{(\frac{7}{3})^5}$

Ответ: $\frac{(\frac{7}{3})^{15}}{(\frac{7}{3})^5}$ (существуют и другие решения, например $\frac{(\frac{7}{3})^{11}}{(\frac{7}{3})^1}$).

3)

Для выражения $(-7,2)^{34}$ основание $a=-7,2$, а показатель $k=34$. Мы ищем такие $m$ и $n$, что $m-n=34$. Выберем, например, $n=6$. Тогда $m = 34 + 6 = 40$. Это позволяет нам записать исходную степень как частное двух степеней:

$(-7,2)^{34} = (-7,2)^{40-6} = \frac{(-7,2)^{40}}{(-7,2)^6}$

Ответ: $\frac{(-7,2)^{40}}{(-7,2)^6}$ (существуют и другие решения, например $\frac{(-7,2)^{35}}{(-7,2)^1}$).

4)

Для выражения $(-\frac{8}{9})^{41}$ основание $a=-\frac{8}{9}$, а показатель $k=41$. Нам нужно найти такие $m$ и $n$, чтобы $m-n=41$. Выберем, например, $m=50$. Тогда $n = 50 - 41 = 9$. Таким образом, получаем следующее представление в виде частного:

$(-\frac{8}{9})^{41} = (-\frac{8}{9})^{50-9} = \frac{(-\frac{8}{9})^{50}}{(-\frac{8}{9})^9}$

Ответ: $\frac{(-\frac{8}{9})^{50}}{(-\frac{8}{9})^9}$ (существуют и другие решения, например $\frac{(-\frac{8}{9})^{42}}{(-\frac{8}{9})^1}$).

3.5. 1) $y^{12}$;

2) $(-z)^{16}$;

3) $(-1,8d)^{51}$;

4) $\left(\frac{2}{11}c\right)^{77}$.

1) Данное выражение $y^{12}$ уже представлено в виде степени. Это переменная $y$, возведенная в 12-ю степень. В этом выражении нет скобок, произведения или частного в основании, поэтому стандартные преобразования, связанные с раскрытием скобок, здесь неприменимы. Выражение уже находится в упрощенной форме.
Можно отметить, что поскольку показатель степени 12 — четное число, значение выражения $y^{12}$ будет неотрицательным при любом действительном значении $y$ (то есть $y^{12} \ge 0$).
Ответ: $y^{12}$.

2) Для того чтобы возвести в степень выражение $(-z)^{16}$, воспользуемся свойством возведения в степень произведения и учтем знак основания.
Основание степени $(-z)$ можно представить как произведение $(-1 \cdot z)$. Показатель степени 16 — четное число.
При возведении отрицательного основания в четную степень результат получается положительным.
Математически это выглядит так:
$(-z)^{16} = (-1 \cdot z)^{16} = (-1)^{16} \cdot z^{16}$
Поскольку 16 — четное число, $(-1)^{16} = 1$.
Таким образом, получаем:
$(-z)^{16} = 1 \cdot z^{16} = z^{16}$.
Ответ: $z^{16}$.

3) Чтобы возвести в степень выражение $(-1,8d)^{51}$, применим свойство возведения в степень произведения: $(ab)^n = a^n b^n$.
Основание степени представляет собой произведение числа $-1,8$ и переменной $d$. Показатель степени 51 — нечетное число.
При возведении отрицательного основания в нечетную степень результат сохраняет отрицательный знак.
$(-1,8d)^{51} = (-1,8)^{51} \cdot d^{51}$
Так как показатель 51 нечетный, знак минус можно вынести:
$(-1,8)^{51} = -(1,8^{51})$
Следовательно, итоговое выражение:
$-(1,8^{51})d^{51}$ или $-1,8^{51}d^{51}$.
Ответ: $-1,8^{51}d^{51}$.

4) Для возведения в степень выражения $(\frac{2}{11}c)^{77}$ используем свойства степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$ и степени дроби $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.
Сначала применим свойство степени произведения:
$(\frac{2}{11}c)^{77} = (\frac{2}{11})^{77} \cdot c^{77}$
Затем применим свойство степени дроби:
$(\frac{2}{11})^{77} = \frac{2^{77}}{11^{77}}$
Объединив результаты, получаем окончательный вид выражения:
$\frac{2^{77}}{11^{77}}c^{77}$.
Ответ: $\frac{2^{77}}{11^{77}}c^{77}$.

Вместо звездочки запишите числа, чтобы были верными равенства (3.6–3.7):

3.6. 1) $200^{10} = 200^{21} : 200^{*}$;

2) $4.45^{39} : 4.45^{*} = 4.45^{30}$;

3) $(-5ab)^{*} : (-5ab) = (-5ab)^{11}$;

4) $(\frac{5}{16}t)^{*} : (\frac{5}{16}t)^{2} = (\frac{5}{16}t)^{22}$.

1) Дано равенство: $200^{10} = 200^{21} : 200^{*}$.
Обозначим неизвестное число в показателе степени за $x$. Равенство примет вид: $200^{10} = 200^{21} : 200^{x}$.
Мы используем свойство степеней для деления чисел с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Применим это правило к правой части равенства: $200^{21} : 200^{x} = 200^{21-x}$.
Теперь исходное равенство можно записать так: $200^{10} = 200^{21-x}$.
Поскольку основания степеней равны (оба равны 200), для того чтобы равенство было верным, должны быть равны и показатели степеней:
$10 = 21 - x$
Решим это уравнение относительно $x$:
$x = 21 - 10$
$x = 11$
Следовательно, вместо звездочки нужно записать число 11.
Ответ: 11

2) Дано равенство: $4.45^{39} : 4.45^{*} = 4.45^{30}$.
Пусть вместо звездочки стоит число $x$. Тогда равенство выглядит так: $4.45^{39} : 4.45^{x} = 4.45^{30}$.
Воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Применив это правило к левой части, получим: $4.45^{39-x} = 4.45^{30}$.
Так как основания степеней равны (4.45), мы можем приравнять их показатели:
$39 - x = 30$
Найдем $x$ из этого уравнения:
$x = 39 - 30$
$x = 9$
Значит, на месте звездочки должно стоять число 9.
Ответ: 9

3) Дано равенство: $(-5ab)^{*} : (-5ab) = (-5ab)^{11}$.
Следует помнить, что любое выражение без указания степени равно этому выражению в первой степени: $(-5ab) = (-5ab)^1$.
Пусть неизвестный показатель степени равен $x$. Тогда уравнение примет вид: $(-5ab)^{x} : (-5ab)^{1} = (-5ab)^{11}$.
Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$. Основание здесь $a = (-5ab)$.
Левая часть уравнения преобразуется в $(-5ab)^{x-1}$.
Получаем равенство: $(-5ab)^{x-1} = (-5ab)^{11}$.
Так как основания степеней одинаковы, приравниваем показатели:
$x - 1 = 11$
Решаем уравнение:
$x = 11 + 1$
$x = 12$
Таким образом, вместо звездочки следует вписать число 12.
Ответ: 12

4) Дано равенство: $(\frac{5}{16}t)^{*} : (\frac{5}{16}t)^{2} = (\frac{5}{16}t)^{22}$.
Пусть искомое число — это $x$. Равенство перепишется как: $(\frac{5}{16}t)^{x} : (\frac{5}{16}t)^{2} = (\frac{5}{16}t)^{22}$.
Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$, где основание $a = (\frac{5}{16}t)$.
Преобразуем левую часть: $(\frac{5}{16}t)^{x-2}$.
Получаем уравнение: $(\frac{5}{16}t)^{x-2} = (\frac{5}{16}t)^{22}$.
Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:
$x - 2 = 22$
Находим $x$:
$x = 22 + 2$
$x = 24$
Следовательно, на месте звездочки должно быть число 24.
Ответ: 24

3.7.

1) $x^{60} = x^{80} : x^{15} : x^{*};$

2) $a^{*} : a^{4} : a = a^{7};$

3) $(-\frac{8}{15} k)^{38} = (-\frac{8}{15} k)^{36} : (-\frac{8}{15} k)^{*} : (-\frac{8}{15});$

4) $(1,1t)^{8} : (1,1t) : (1,1t)^{*} = 1,1t.$

1) Дано уравнение: $x^{60} = x^{80} : x^{15} : x^{*}$.
Чтобы найти неизвестный показатель степени, обозначенный звездочкой (*), воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Преобразуем правую часть уравнения, выполняя действия по порядку слева направо:
$x^{80} : x^{15} : x^{*} = x^{80 - 15} : x^{*} = x^{65} : x^{*} = x^{65 - *}$.
Теперь уравнение выглядит так: $x^{60} = x^{65 - *}$.
Поскольку основания степеней ($x$) равны, мы можем приравнять их показатели:
$60 = 65 - *$
Отсюда находим значение *:
$* = 65 - 60$
$* = 5$
Ответ: 5

2) Дано уравнение: $a^{*} : a^4 : a = a^7$.
Вспомним, что любое число или выражение без показателя степени можно записать со степенью 1, то есть $a = a^1$. Уравнение примет вид: $a^{*} : a^4 : a^1 = a^7$.
Упростим левую часть уравнения, используя свойство деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$a^{*} : a^4 : a^1 = a^{*-4} : a^1 = a^{*-4-1} = a^{*-5}$.
Получаем уравнение: $a^{*-5} = a^7$.
Приравниваем показатели степеней, так как основания ($a$) одинаковы:
$* - 5 = 7$
Решаем уравнение относительно *:
$* = 7 + 5$
$* = 12$
Ответ: 12

3) Дано уравнение: $(-\frac{8}{15}k)^{38} = (-\frac{8}{15}k)^{36} : (-\frac{8}{15}k)^{*} : (-\frac{8}{15}k)$.
Основание степени здесь $(-\frac{8}{15}k)$. Последний делитель в правой части можно записать как $(-\frac{8}{15}k)^1$.
Пусть основание $B = (-\frac{8}{15}k)$. Тогда уравнение можно переписать в виде: $B^{38} = B^{36} : B^{*} : B^1$.
Упростим правую часть, последовательно вычитая показатели степеней при делении:
$B^{36} : B^{*} : B^1 = B^{36-*} : B^1 = B^{36-*-1} = B^{35-*}$.
Теперь уравнение выглядит так: $B^{38} = B^{35-*}$.
Приравниваем показатели степеней:
$38 = 35 - *$
Находим *:
$* = 35 - 38$
$* = -3$
Ответ: -3

4) Дано уравнение: $(1,1t)^8 : (1,1t) : (1,1t)^* = 1,1t$.
Выражения $(1,1t)$ в левой и правой частях, у которых не указан показатель, можно представить в виде степени с показателем 1: $(1,1t)^1$.
Упростим левую часть уравнения, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием:
$(1,1t)^8 : (1,1t)^1 : (1,1t)^* = (1,1t)^{8-1} : (1,1t)^* = (1,1t)^7 : (1,1t)^* = (1,1t)^{7-*}$.
Теперь уравнение принимает вид: $(1,1t)^{7-*} = (1,1t)^1$.
Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:
$7 - * = 1$
Решаем уравнение относительно *:
$* = 7 - 1$
$* = 6$
Ответ: 6

3.8. Вычислите: $4,5^0$; $(-\frac{4}{5})^0$; $x^0$; $(-2x+y)^0$; $(8,6a)^0$; $(-9,1bc)^0$.

$4,5^0$
Согласно свойству степени с нулевым показателем, любое число, отличное от нуля, возведенное в нулевую степень, равно единице. Так как основание степени $4,5$ не равно нулю, то:
$4,5^0 = 1$
Ответ: 1.

$(-\frac{4}{5})^0$
Аналогично предыдущему примеру, любое ненулевое число в нулевой степени равно 1. Основание степени $-\frac{4}{5}$ не равно нулю.
$(-\frac{4}{5})^0 = 1$
Ответ: 1.

$x^0$
Любое ненулевое выражение, возведенное в нулевую степень, равно 1. Это свойство справедливо при условии, что основание степени не равно нулю. В данном случае, основание равно $x$.
Следовательно, $x^0 = 1$ при $x \neq 0$. Если $x=0$, выражение $0^0$ считается неопределенным.
Ответ: 1, при $x \neq 0$.

$(-2x + y)^0$
Выражение в скобках, возведенное в нулевую степень, равно 1, при условии, что само это выражение не равно нулю.
Таким образом, $(-2x + y)^0 = 1$ при условии, что $-2x + y \neq 0$.
Ответ: 1, при $-2x + y \neq 0$.

$(8,6a)^0$
По свойству степени с нулевым показателем, данное выражение равно 1, если его основание не равно нулю. Основание $8,6a$ равно нулю только в том случае, если $a=0$.
Следовательно, $(8,6a)^0 = 1$ при $a \neq 0$.
Ответ: 1, при $a \neq 0$.

$(-9,1bc)^0$
Выражение равно 1, если его основание не равно нулю. Основание $-9,1bc$ равно нулю, если хотя бы один из множителей $b$ или $c$ равен нулю (то есть, если $b=0$ или $c=0$).
Следовательно, $(-9,1bc)^0 = 1$ при условии, что $b \neq 0$ и $c \neq 0$.
Ответ: 1, при $b \neq 0$ и $c \neq 0$.

3.9. Упростите выражение:

1) $a^{100} : a^{89} \cdot a^2;$

2) $b^{98} : b^{88} \cdot b^{15};$

3) $(ax)^{41} \cdot (ax)^{12} : (ax)^{33};$

4) $(3z)^{56} : (3z)^{51} \cdot (3z);$

5) $\left(\frac{c}{5}\right)^{66} : \left(\frac{c}{5}\right)^{62} \cdot \left(\frac{c}{5}\right)^{3};$

6) $(-kt)^{49} : (-kt)^{39} \cdot (-kt)^{10}.$

1) $a^{100} : a^{89} \cdot a^2$

Для упрощения выражения применяем свойства степеней. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$), а при умножении — складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$). Выполняем действия последовательно слева направо:

$a^{100} : a^{89} \cdot a^2 = a^{100-89} \cdot a^2 = a^{11} \cdot a^2 = a^{11+2} = a^{13}$.

Ответ: $a^{13}$.

2) $b^{98} : b^{88} \cdot b^{15}$

Аналогично предыдущему примеру, используем свойства степеней для деления и умножения с одинаковым основанием $b$:

$b^{98} : b^{88} \cdot b^{15} = b^{98-88} \cdot b^{15} = b^{10} \cdot b^{15} = b^{10+15} = b^{25}$.

Ответ: $b^{25}$.

3) $(ax)^{41} \cdot (ax)^{12} : (ax)^{33}$

В этом выражении основание степени — это $(ax)$. Применим те же правила, выполняя действия по порядку. Сначала умножение, затем деление:

$(ax)^{41} \cdot (ax)^{12} : (ax)^{33} = (ax)^{41+12} : (ax)^{33} = (ax)^{53} : (ax)^{33} = (ax)^{53-33} = (ax)^{20}$.

Ответ: $(ax)^{20}$.

4) $(3z)^{56} : (3z)^{51} \cdot (3z)$

Основание степени — $(3z)$. Учтем, что $(3z)$ — это то же самое, что и $(3z)^1$.

$(3z)^{56} : (3z)^{51} \cdot (3z)^1 = (3z)^{56-51} \cdot (3z)^1 = (3z)^5 \cdot (3z)^1 = (3z)^{5+1} = (3z)^6$.

Далее упростим выражение, используя свойство $(ab)^n = a^n b^n$ и вычислив степень числа:

$(3z)^6 = 3^6 \cdot z^6 = 729z^6$.

Ответ: $729z^6$.

5) $(\frac{c}{5})^{66} : (\frac{c}{5})^{62} \cdot (\frac{c}{5})^3$

Основание степени здесь — дробь $(\frac{c}{5})$. Последовательно применяем правила действий со степенями:

$(\frac{c}{5})^{66} : (\frac{c}{5})^{62} \cdot (\frac{c}{5})^3 = (\frac{c}{5})^{66-62} \cdot (\frac{c}{5})^3 = (\frac{c}{5})^4 \cdot (\frac{c}{5})^3 = (\frac{c}{5})^{4+3} = (\frac{c}{5})^7$.

Раскроем скобки по свойству $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и вычислим степень знаменателя:

$(\frac{c}{5})^7 = \frac{c^7}{5^7} = \frac{c^7}{78125}$.

Ответ: $\frac{c^7}{78125}$.

6) $(-kt)^{49} : (-kt)^{39} \cdot (-kt)^{10}$

Основание степени — выражение $(-kt)$. Выполняем действия с показателями степеней:

$(-kt)^{49} : (-kt)^{39} \cdot (-kt)^{10} = (-kt)^{49-39} \cdot (-kt)^{10} = (-kt)^{10} \cdot (-kt)^{10} = (-kt)^{10+10} = (-kt)^{20}$.

Так как показатель степени 20 — четное число, то при возведении в степень отрицательного основания результат будет положительным: $(-a)^{2n} = a^{2n}$.

$(-kt)^{20} = (kt)^{20}$.

Ответ: $(kt)^{20}$.