Номер 3.7, страница 39 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.7.

1) $x^{60} = x^{80} : x^{15} : x^{*};$

2) $a^{*} : a^{4} : a = a^{7};$

3) $(-\frac{8}{15} k)^{38} = (-\frac{8}{15} k)^{36} : (-\frac{8}{15} k)^{*} : (-\frac{8}{15});$

4) $(1,1t)^{8} : (1,1t) : (1,1t)^{*} = 1,1t.$

1) Дано уравнение: $x^{60} = x^{80} : x^{15} : x^{*}$.
Чтобы найти неизвестный показатель степени, обозначенный звездочкой (*), воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Преобразуем правую часть уравнения, выполняя действия по порядку слева направо:
$x^{80} : x^{15} : x^{*} = x^{80 - 15} : x^{*} = x^{65} : x^{*} = x^{65 - *}$.
Теперь уравнение выглядит так: $x^{60} = x^{65 - *}$.
Поскольку основания степеней ($x$) равны, мы можем приравнять их показатели:
$60 = 65 - *$
Отсюда находим значение *:
$* = 65 - 60$
$* = 5$
Ответ: 5

2) Дано уравнение: $a^{*} : a^4 : a = a^7$.
Вспомним, что любое число или выражение без показателя степени можно записать со степенью 1, то есть $a = a^1$. Уравнение примет вид: $a^{*} : a^4 : a^1 = a^7$.
Упростим левую часть уравнения, используя свойство деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$a^{*} : a^4 : a^1 = a^{*-4} : a^1 = a^{*-4-1} = a^{*-5}$.
Получаем уравнение: $a^{*-5} = a^7$.
Приравниваем показатели степеней, так как основания ($a$) одинаковы:
$* - 5 = 7$
Решаем уравнение относительно *:
$* = 7 + 5$
$* = 12$
Ответ: 12

3) Дано уравнение: $(-\frac{8}{15}k)^{38} = (-\frac{8}{15}k)^{36} : (-\frac{8}{15}k)^{*} : (-\frac{8}{15}k)$.
Основание степени здесь $(-\frac{8}{15}k)$. Последний делитель в правой части можно записать как $(-\frac{8}{15}k)^1$.
Пусть основание $B = (-\frac{8}{15}k)$. Тогда уравнение можно переписать в виде: $B^{38} = B^{36} : B^{*} : B^1$.
Упростим правую часть, последовательно вычитая показатели степеней при делении:
$B^{36} : B^{*} : B^1 = B^{36-*} : B^1 = B^{36-*-1} = B^{35-*}$.
Теперь уравнение выглядит так: $B^{38} = B^{35-*}$.
Приравниваем показатели степеней:
$38 = 35 - *$
Находим *:
$* = 35 - 38$
$* = -3$
Ответ: -3

4) Дано уравнение: $(1,1t)^8 : (1,1t) : (1,1t)^* = 1,1t$.
Выражения $(1,1t)$ в левой и правой частях, у которых не указан показатель, можно представить в виде степени с показателем 1: $(1,1t)^1$.
Упростим левую часть уравнения, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием:
$(1,1t)^8 : (1,1t)^1 : (1,1t)^* = (1,1t)^{8-1} : (1,1t)^* = (1,1t)^7 : (1,1t)^* = (1,1t)^{7-*}$.
Теперь уравнение принимает вид: $(1,1t)^{7-*} = (1,1t)^1$.
Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:
$7 - * = 1$
Решаем уравнение относительно *:
$* = 7 - 1$
$* = 6$
Ответ: 6