Номер 3.13, страница 40 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.13. Сравните значения выражений:

1) $4^5 : 4^3$ и $2^8 : 2^6$;

2) $(-9)^{10} : (-9)^9$ и $(-8)^9 : (-8)^8$;

3) $10^{20} : 10^{19} \cdot 10^2$ и $2^{40} : 2^{35} \cdot 2^5$;

4) $(-\frac{1}{3})^{60} : (-\frac{1}{3})^{58}$ и $(-\frac{1}{2})^{40} : (-\frac{1}{2})^{36}$.

1) Сравним значения выражений $4^5 : 4^3$ и $2^8 : 2^6$.

Для решения этой задачи необходимо упростить каждое выражение, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Вычислим значение первого выражения:

$4^5 : 4^3 = 4^{5-3} = 4^2 = 16$.

Вычислим значение второго выражения:

$2^8 : 2^6 = 2^{8-6} = 2^2 = 4$.

Теперь сравним полученные результаты:

$16 > 4$.

Следовательно, $4^5 : 4^3 > 2^8 : 2^6$.

Ответ: $4^5 : 4^3 > 2^8 : 2^6$.

2) Сравним значения выражений $(-9)^{10} : (-9)^9$ и $(-8)^9 : (-8)^8$.

Упростим каждое выражение, применяя то же свойство деления степеней.

Вычислим значение первого выражения:

$(-9)^{10} : (-9)^9 = (-9)^{10-9} = (-9)^1 = -9$.

Вычислим значение второго выражения:

$(-8)^9 : (-8)^8 = (-8)^{9-8} = (-8)^1 = -8$.

Сравним полученные отрицательные числа:

$-9 < -8$.

Следовательно, $(-9)^{10} : (-9)^9 < (-8)^9 : (-8)^8$.

Ответ: $(-9)^{10} : (-9)^9 < (-8)^9 : (-8)^8$.

3) Сравним значения выражений $10^{20} : 10^{19} \cdot 10^2$ и $2^{40} : 2^{35} \cdot 2^5$.

Упростим выражения, выполняя действия по порядку слева направо. Используем свойства степеней: $a^m : a^n = a^{m-n}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Упростим первое выражение:

$10^{20} : 10^{19} \cdot 10^2 = (10^{20-19}) \cdot 10^2 = 10^1 \cdot 10^2 = 10^{1+2} = 10^3 = 1000$.

Упростим второе выражение:

$2^{40} : 2^{35} \cdot 2^5 = (2^{40-35}) \cdot 2^5 = 2^5 \cdot 2^5 = 2^{5+5} = 2^{10} = 1024$.

Сравним полученные результаты:

$1000 < 1024$.

Следовательно, $10^{20} : 10^{19} \cdot 10^2 < 2^{40} : 2^{35} \cdot 2^5$.

Ответ: $10^{20} : 10^{19} \cdot 10^2 < 2^{40} : 2^{35} \cdot 2^5$.

4) Сравним значения выражений $(-\frac{1}{3})^{60} : (-\frac{1}{3})^{58}$ и $(-\frac{1}{2})^{40} : (-\frac{1}{2})^{36}$.

Упростим каждое из выражений, используя свойство деления степеней.

Вычислим значение первого выражения:

$(-\frac{1}{3})^{60} : (-\frac{1}{3})^{58} = (-\frac{1}{3})^{60-58} = (-\frac{1}{3})^2$.

Поскольку степень четная (2), отрицательное основание дает положительный результат: $(-\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$.

Вычислим значение второго выражения:

$(-\frac{1}{2})^{40} : (-\frac{1}{2})^{36} = (-\frac{1}{2})^{40-36} = (-\frac{1}{2})^4$.

Степень также четная (4), поэтому результат будет положительным: $(-\frac{1}{2})^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16}$.

Теперь сравним полученные дроби $\frac{1}{9}$ и $\frac{1}{16}$. Из двух дробей с одинаковым числителем (равным 1) большей является та, у которой знаменатель меньше. Так как $9 < 16$, то $\frac{1}{9} > \frac{1}{16}$.

Следовательно, $(-\frac{1}{3})^{60} : (-\frac{1}{3})^{58} > (-\frac{1}{2})^{40} : (-\frac{1}{2})^{36}$.

Ответ: $(-\frac{1}{3})^{60} : (-\frac{1}{3})^{58} > (-\frac{1}{2})^{40} : (-\frac{1}{2})^{36}$.