Номер 3.19, страница 41 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.19. Найдите значение выражения:

1) $\frac{(-6)^{19} \cdot (-6)^{33}}{3,2^{24} \cdot 3,2^{6}} \cdot \frac{3,2^{96} \cdot 3,2^{12}}{(-6)^{28} \cdot (-6)^{29}} \cdot \frac{(-6)^{6}}{3,2^{77}};$

2) $\frac{1,7^{40} \cdot 1,7^{12} \cdot 20^{30}}{1,7^{39} \cdot 20^{6} \cdot 20^{7}} \cdot \frac{20^{7} \cdot 20^{8}}{1,7^{13} \cdot 1,7^{9}} \cdot \frac{1,7^{10}}{20^{31}}.$

1) Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Исходное выражение:

$\frac{(-6)^{19} \cdot (-6)^{33}}{3,2^{24} \cdot 3,2^{6}} \cdot \frac{3,2^{96} \cdot 3,2^{12}}{(-6)^{28} \cdot (-6)^{29}} \cdot \frac{(-6)^{6}}{3,2^{77}}$

Сначала перемножим числители и знаменатели дробей, сгруппировав степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{(-6)^{19} \cdot (-6)^{33} \cdot (-6)^{6} \cdot 3,2^{96} \cdot 3,2^{12}}{3,2^{24} \cdot 3,2^{6} \cdot 3,2^{77} \cdot (-6)^{28} \cdot (-6)^{29}}$

Теперь применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).

Для числителя:

$(-6)^{19+33+6} \cdot 3,2^{96+12} = (-6)^{58} \cdot 3,2^{108}$

Для знаменателя:

$(-6)^{28+29} \cdot 3,2^{24+6+77} = (-6)^{57} \cdot 3,2^{107}$

Подставим полученные значения обратно в дробь:

$\frac{(-6)^{58} \cdot 3,2^{108}}{(-6)^{57} \cdot 3,2^{107}}$

Теперь применим свойство деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$(-6)^{58-57} \cdot 3,2^{108-107} = (-6)^{1} \cdot 3,2^{1} = -6 \cdot 3,2 = -19,2$

Ответ: $-19,2$.

2) Аналогично первому примеру, используем свойства степеней.

Исходное выражение:

$\frac{1,7^{40} \cdot 1,7^{12} \cdot 20^{30}}{1,7^{39} \cdot 20^{6} \cdot 20^{7}} \cdot \frac{20^{7} \cdot 20^{8}}{1,7^{13} \cdot 1,7^{9}} \cdot \frac{1,7^{10}}{20^{31}}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями ($1,7$ и $20$) в числителе и знаменателе:

$\frac{(1,7^{40} \cdot 1,7^{12} \cdot 1,7^{10}) \cdot (20^{30} \cdot 20^{7} \cdot 20^{8})}{(1,7^{39} \cdot 1,7^{13} \cdot 1,7^{9}) \cdot (20^{6} \cdot 20^{7} \cdot 20^{31})}$

Сложим показатели степеней для каждого основания ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).

Для числителя:

$1,7^{40+12+10} \cdot 20^{30+7+8} = 1,7^{62} \cdot 20^{45}$

Для знаменателя:

$1,7^{39+13+9} \cdot 20^{6+7+31} = 1,7^{61} \cdot 20^{44}$

Получим дробь:

$\frac{1,7^{62} \cdot 20^{45}}{1,7^{61} \cdot 20^{44}}$

Применим свойство деления степеней ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$1,7^{62-61} \cdot 20^{45-44} = 1,7^{1} \cdot 20^{1} = 1,7 \cdot 20 = 34$

Ответ: $34$.