Номер 3.21, страница 42 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.21. Расскажите о среднеазиатском ученом аль-Каши, который применил в своих трудах равенство $a^0 = 1$ (для $a \neq 0$) в начале XV в.

Джамшид Гияс ад-Дин аль-Каши (около 1380–1429) — выдающийся персидский математик и астроном, работавший в Самарканде при дворе Улугбека. Он внёс огромный вклад в развитие многих областей науки и по праву считается одним из величайших учёных своего времени.

Аль-Каши известен своими фундаментальными трудами. Его главный математический трактат — «Ключ к арифметике» (Мифтах аль-хисаб), написанный в 1427 году. В этой работе он подробно описал систему десятичных дробей, которую он, по сути, ввёл в научный обиход. Именно в контексте развития учения о степенях и многочленах аль-Каши систематически использовал понятие нулевого показателя степени.

В «Ключе к арифметике» аль-Каши представляет числа в позиционной системе, где разряды целой части соответствуют неотрицательным степеням основания (10), а разряды дробной части — отрицательным. Целая часть числа, например, 524, рассматривалась им как многочлен $5x^2 + 2x^1 + 4x^0$ при $x=10$. Разряд единиц, таким образом, соответствует нулевой степени. Аль-Каши прямо указывает, что степень свободного члена (разряда единиц) равна нулю. Это последовательное применение правила $a^0 = 1$ (где $a$ — основание системы счисления) было новаторским для того времени и легло в основу дальнейшего развития алгебры и понятия степени.

Таким образом, аль-Каши не просто упомянул это равенство, а интегрировал его в свою стройную систему десятичной арифметики и алгебры, показав его практическую пользу и теоретическую состоятельность. Это позволило ему, например, разработать методы извлечения корней любой степени из чисел, что было огромным шагом вперёд.

Среди других его достижений — вычисление числа $\pi$ с точностью до 16-го десятичного знака в труде «Трактат об окружности» (Рисала аль-мухитийя), что оставалось рекордом на протяжении почти 200 лет, а также создание точнейших астрономических таблиц в обсерватории Улугбека.

Ответ: Среднеазиатский (персидский) учёный Джамшид Гияс ад-Дин аль-Каши в начале XV века внёс фундаментальный вклад в математику и астрономию. В своём главном труде «Ключ к арифметике» (1427 г.) он систематически изложил теорию десятичных дробей и разработал методы работы с многочленами. В рамках этой системы он последовательно применял правило, что любое число (не равное нулю) в нулевой степени равно единице: $a^0 = 1$. Это понятие было ключевым для его позиционной системы записи чисел, где разряд единиц соответствовал нулевой степени основания системы счисления, что позволяло единообразно работать как с целыми, так и с дробными числами.