Номер 3.20, страница 41 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.20. Верно ли равенство:

1)

$\frac{x^{100} \cdot x^{20} \cdot x^{60}}{x^{89} \cdot x^{72}} = \frac{x^{55} \cdot x^{36}}{x^{41} \cdot x^{13} \cdot x^{18}};$

2)

$\frac{x^{33} \cdot x \cdot x^{69}}{x^{47} \cdot x^{49}} = \frac{x^{53} \cdot x^{56} \cdot x^{60}}{x^{81} \cdot x^{2} \cdot x^{79}};$

3)

$\frac{a^{17} \cdot a^{47} \cdot a^{56}}{a^{81} \cdot a^{39}} = \frac{a^{80} \cdot a^{5} \cdot a^{37}}{a^{59} \cdot a^{63}};$

4)

$\frac{a^{31} \cdot a^{18} \cdot a^{27} \cdot a^{19}}{a^{22} \cdot a^{54} \cdot a^{16}} = \frac{a^{39} \cdot a^{23}}{a^{59}}?$

1) Для проверки равенства $ \frac{x^{100} \cdot x^{20} \cdot x^{60}}{x^{89} \cdot x^{72}} = \frac{x^{55} \cdot x^{36}}{x^{41} \cdot x^{13} \cdot x^{18}} $ необходимо упростить его левую и правую части, используя правила действий со степенями: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Упростим левую часть:
$ \frac{x^{100} \cdot x^{20} \cdot x^{60}}{x^{89} \cdot x^{72}} = \frac{x^{100+20+60}}{x^{89+72}} = \frac{x^{180}}{x^{161}} = x^{180-161} = x^{19} $.

Упростим правую часть:
$ \frac{x^{55} \cdot x^{36}}{x^{41} \cdot x^{13} \cdot x^{18}} = \frac{x^{55+36}}{x^{41+13+18}} = \frac{x^{91}}{x^{72}} = x^{91-72} = x^{19} $.

Поскольку $x^{19} = x^{19}$, левая и правая части равны. Ответ: равенство верно.

2) Проверим равенство $ \frac{x^{33} \cdot x \cdot x^{69}}{x^{47} \cdot x^{49}} = \frac{x^{53} \cdot x^{56} \cdot x^{60}}{x^{81} \cdot x^2 \cdot x^{79}} $. Учтём, что $x=x^1$.

Упростим левую часть:
$ \frac{x^{33} \cdot x^1 \cdot x^{69}}{x^{47} \cdot x^{49}} = \frac{x^{33+1+69}}{x^{47+49}} = \frac{x^{103}}{x^{96}} = x^{103-96} = x^7 $.

Упростим правую часть:
$ \frac{x^{53} \cdot x^{56} \cdot x^{60}}{x^{81} \cdot x^2 \cdot x^{79}} = \frac{x^{53+56+60}}{x^{81+2+79}} = \frac{x^{169}}{x^{162}} = x^{169-162} = x^7 $.

Поскольку $x^7 = x^7$, левая и правая части равны. Ответ: равенство верно.

3) Проверим равенство $ \frac{a^{17} \cdot a^{47} \cdot a^{56}}{a^{81} \cdot a^{39}} = \frac{a^{80} \cdot a^5 \cdot a^{37}}{a^{59} \cdot a^{63}} $.

Упростим левую часть:
$ \frac{a^{17} \cdot a^{47} \cdot a^{56}}{a^{81} \cdot a^{39}} = \frac{a^{17+47+56}}{a^{81+39}} = \frac{a^{120}}{a^{120}} = a^{120-120} = a^0 = 1 $ (при $a \neq 0$).

Упростим правую часть:
$ \frac{a^{80} \cdot a^5 \cdot a^{37}}{a^{59} \cdot a^{63}} = \frac{a^{80+5+37}}{a^{59+63}} = \frac{a^{122}}{a^{122}} = a^{122-122} = a^0 = 1 $ (при $a \neq 0$).

Поскольку $1=1$, левая и правая части равны. Ответ: равенство верно.

4) Проверим равенство $ \frac{a^{31} \cdot a^{18} \cdot a^{27} \cdot a^{19}}{a^{22} \cdot a^{54} \cdot a^{16}} = \frac{a^{39} \cdot a^{23}}{a^{59}} $.

Упростим левую часть:
$ \frac{a^{31} \cdot a^{18} \cdot a^{27} \cdot a^{19}}{a^{22} \cdot a^{54} \cdot a^{16}} = \frac{a^{31+18+27+19}}{a^{22+54+16}} = \frac{a^{95}}{a^{92}} = a^{95-92} = a^3 $.

Упростим правую часть:
$ \frac{a^{39} \cdot a^{23}}{a^{59}} = \frac{a^{39+23}}{a^{59}} = \frac{a^{62}}{a^{59}} = a^{62-59} = a^3 $.

Поскольку $a^3 = a^3$, левая и правая части равны. Ответ: равенство верно.