Страница 41 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.15.

1) $11^k : 11^4 \cdot 11^{k+1}$;

2) $20^{10} : 20^t \cdot 20^{3+t}$;

3) $(\frac{1}{4})^{3k} : (\frac{1}{4})^k \cdot (\frac{1}{4})^{2k+3}$;

4) $(-9)^{20t} : (-9)^{t+5} : (-9)$;

5) $(-\frac{1}{9})^{5t-2} : (-\frac{1}{9}) \cdot (-\frac{1}{9})^{5t}$;

6) $2,1^{k+3} \cdot 2,1^{6t} : 2,1^{4t+3}. $

1) Для упрощения выражения используем свойства степеней. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$), а при умножении — складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$). Операции выполняются слева направо.

Первое действие — деление: $11^k : 11^4 = 11^{k-4}$.

Второе действие — умножение: $11^{k-4} \cdot 11^{k+1} = 11^{(k-4) + (k+1)} = 11^{k-4+k+1} = 11^{2k-3}$.

Ответ: $11^{2k-3}$.

2) Аналогично предыдущему примеру, применяем свойства степеней и выполняем действия по порядку.

Сначала деление: $20^{10} : 20^t = 20^{10-t}$.

Затем умножение: $20^{10-t} \cdot 20^{3+t} = 20^{(10-t) + (3+t)} = 20^{10-t+3+t} = 20^{13}$.

Ответ: $20^{13}$.

3) Основанием степени является дробь $\frac{1}{4}$. Правила действий со степенями остаются теми же.

Выполняем деление: $(\frac{1}{4})^{3k} : (\frac{1}{4})^k = (\frac{1}{4})^{3k-k} = (\frac{1}{4})^{2k}$.

Выполняем умножение: $(\frac{1}{4})^{2k} \cdot (\frac{1}{4})^{2k+3} = (\frac{1}{4})^{2k + (2k+3)} = (\frac{1}{4})^{4k+3}$.

Ответ: $(\frac{1}{4})^{4k+3}$.

4) В этом выражении два действия деления с одинаковым основанием $-9$. Выполняем их последовательно слева направо. Следует помнить, что $(-9)$ это то же самое, что и $(-9)^1$.

Первое деление: $(-9)^{20t} : (-9)^{t+5} = (-9)^{20t - (t+5)} = (-9)^{20t - t - 5} = (-9)^{19t-5}$.

Второе деление: $(-9)^{19t-5} : (-9)^1 = (-9)^{(19t-5) - 1} = (-9)^{19t-6}$.

Ответ: $(-9)^{19t-6}$.

5) Основание степени равно $(-\frac{1}{9})$. Выражение $(-\frac{1}{9})$ можно представить как $(-\frac{1}{9})^1$. Выполняем действия по порядку.

Деление: $(-\frac{1}{9})^{5t-2} : (-\frac{1}{9})^1 = (-\frac{1}{9})^{(5t-2)-1} = (-\frac{1}{9})^{5t-3}$.

Умножение: $(-\frac{1}{9})^{5t-3} \cdot (-\frac{1}{9})^{5t} = (-\frac{1}{9})^{(5t-3)+5t} = (-\frac{1}{9})^{10t-3}$.

Ответ: $(-\frac{1}{9})^{10t-3}$.

6) Основание степени в этом примере — $2,1$. Выполняем действия слева направо.

Умножение: $2,1^{k+3} \cdot 2,1^{6t} = 2,1^{(k+3)+6t} = 2,1^{k+6t+3}$.

Деление: $2,1^{k+6t+3} : 2,1^{4t+3} = 2,1^{(k+6t+3)-(4t+3)} = 2,1^{k+6t+3-4t-3} = 2,1^{k+2t}$.

Ответ: $2,1^{k+2t}$.

3.16. Вычислите:

1) $(2^{30} : 2^{15} : 2^{10}) \cdot (5^{27} : 5^{26} \cdot 5)$; 2) $(3^{13} : 3^{12} \cdot 3^{3}) : (7^{17} : 7^{15} : 7^{2})$;

3) $(4^{10} : 4^{8}) \cdot (6^{8} : 6^{6}) : (24^{37} : 24^{36})$; 4) $(9^{22} : 9^{20}) \cdot (8^{5} : 8^{3}) : (6^{18} : 6^{15})$.

1) $(2^{30} : 2^{15} : 2^{10}) \cdot (5^{27} : 5^{26} \cdot 5)$
Для решения используем свойства степеней: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$), а при умножении — складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).
Сначала вычислим выражение в первой скобке: $2^{30} : 2^{15} : 2^{10} = 2^{30-15} : 2^{10} = 2^{15} : 2^{10} = 2^{15-10} = 2^5 = 32$.
Теперь вычислим выражение во второй скобке, учитывая, что $5 = 5^1$: $5^{27} : 5^{26} \cdot 5^1 = 5^{27-26} \cdot 5^1 = 5^1 \cdot 5^1 = 5^{1+1} = 5^2 = 25$.
Наконец, перемножим полученные результаты: $32 \cdot 25 = 800$.
Ответ: 800

2) $(3^{13} : 3^{12} \cdot 3^3) : (7^{17} : 7^{15} : 7^2)$
Поэтапно вычисляем значения выражений в скобках, используя те же свойства степеней.
Выражение в первой скобке: $3^{13} : 3^{12} \cdot 3^3 = 3^{13-12+3} = 3^4 = 81$.
Выражение во второй скобке: $7^{17} : 7^{15} : 7^2 = 7^{17-15-2} = 7^0 = 1$ (любое ненулевое число в степени 0 равно 1).
Выполняем деление результатов: $81 : 1 = 81$.
Ответ: 81

3) $(4^{10} : 4^8) \cdot (6^8 : 6^6) : (24^{37} : 24^{36})$
Сначала упростим выражения в каждой из скобок.
$4^{10} : 4^8 = 4^{10-8} = 4^2$.
$6^8 : 6^6 = 6^{8-6} = 6^2$.
$24^{37} : 24^{36} = 24^{37-36} = 24^1 = 24$.
Теперь объединим результаты: $(4^2 \cdot 6^2) : 24$.
Используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, получаем: $(4 \cdot 6)^2 : 24 = 24^2 : 24 = 24^{2-1} = 24$.
Ответ: 24

4) $(9^{22} : 9^{20}) \cdot (8^5 : 8^3) : (6^{18} : 6^{15})$
Упростим каждое выражение в скобках.
$9^{22} : 9^{20} = 9^{22-20} = 9^2 = 81$.
$8^5 : 8^3 = 8^{5-3} = 8^2 = 64$.
$6^{18} : 6^{15} = 6^{18-15} = 6^3 = 216$.
Получаем выражение: $(81 \cdot 64) : 216$.
Для удобства вычисления представим числа как степени простых множителей: $81 = 3^4$, $64 = 2^6$, $216 = 6^3 = (2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3$.
Подставим в выражение и выполним действия со степенями: $(3^4 \cdot 2^6) : (2^3 \cdot 3^3) = \frac{3^4 \cdot 2^6}{3^3 \cdot 2^3} = 3^{4-3} \cdot 2^{6-3} = 3^1 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$.
Ответ: 24

3.17. Представьте в виде частного двух степеней с одинаковыми основаниями выражения:

1) $a^{k+5}$;

2) $d^{k+m}$;

3) $b^{2k+1}$;

4) $c^{4+5k}$.

Для решения этой задачи мы воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым основанием, которое гласит: $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$. Чтобы представить заданное выражение, например $x^{A+B}$, в виде частного, нам нужно представить показатель степени $A+B$ в виде разности $m-n$. Наиболее простой способ сделать это — представить сумму как разность, используя отрицательные числа: $A+B = A - (-B)$. Таким образом, мы получаем: $x^{A+B} = x^{A-(-B)} = \frac{x^A}{x^{-B}}$. Применим этот подход к каждому из выражений.

1) Для выражения $a^{k+5}$ представим показатель степени $k+5$ в виде разности. Запишем $k+5 = k - (-5)$. Используя свойство частного степеней, получаем:

$a^{k+5} = a^{k - (-5)} = \frac{a^k}{a^{-5}}$

Ответ: $\frac{a^k}{a^{-5}}$

2) Для выражения $d^{k+m}$ поступим аналогично. Представим показатель степени $k+m$ в виде разности: $k+m = k - (-m)$. Тогда, по свойству частного степеней:

$d^{k+m} = d^{k - (-m)} = \frac{d^k}{d^{-m}}$

Ответ: $\frac{d^k}{d^{-m}}$

3) Для выражения $b^{2k+1}$ представим показатель $2k+1$ в виде разности: $2k+1 = 2k - (-1)$. Применяя свойство частного степеней, имеем:

$b^{2k+1} = b^{2k - (-1)} = \frac{b^{2k}}{b^{-1}}$

Ответ: $\frac{b^{2k}}{b^{-1}}$

4) Для выражения $c^{4+5k}$ представим показатель $4+5k$ в виде разности. Можно записать $4+5k = 4 - (-5k)$. Согласно свойству частного степеней:

$c^{4+5k} = c^{4 - (-5k)} = \frac{c^4}{c^{-5k}}$

Ответ: $\frac{c^4}{c^{-5k}}$

3.18. Вычислите:

1) $\frac{(-5)^6 \cdot (-5)^7 \cdot (-5)^8}{(-5)^{14} \cdot (-5)^4};$

2) $\frac{1,2^{40} \cdot 1,2^{25}}{1,2^{59} \cdot 1,2^8};$

3) $\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{10} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{20} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{30}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{34} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{23}};$

4) $\frac{\left(-\frac{1}{6}\right)^{25} \cdot \left(-\frac{1}{6}\right)^{19} \cdot \left(-\frac{1}{6}\right)^{16}}{\left(-\frac{1}{6}\right)^8 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right)^{49}};$

1) Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), а при делении — вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$).

Сначала упростим числитель:

$(-5)^6 \cdot (-5)^7 \cdot (-5)^8 = (-5)^{6+7+8} = (-5)^{21}$

Теперь упростим знаменатель:

$(-5)^{14} \cdot (-5)^4 = (-5)^{14+4} = (-5)^{18}$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{(-5)^{21}}{(-5)^{18}} = (-5)^{21-18} = (-5)^3$

Вычислим полученное значение:

$(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = -125$

Ответ: -125

2) Используем те же свойства степеней, что и в предыдущем примере.

Упростим числитель:

$1,2^{40} \cdot 1,2^{25} \cdot 1,2^4 = 1,2^{40+25+4} = 1,2^{69}$

Упростим знаменатель:

$1,2^{59} \cdot 1,2^8 = 1,2^{59+8} = 1,2^{67}$

Выполним деление:

$\frac{1,2^{69}}{1,2^{67}} = 1,2^{69-67} = 1,2^2$

Вычислим результат:

$1,2^2 = 1,44$

Ответ: 1,44

3) Основание степени в этом примере равно $\frac{1}{3}$.

Упростим выражение в числителе, сложив показатели степеней:

$(\frac{1}{3})^{10} \cdot (\frac{1}{3})^{20} \cdot (\frac{1}{3})^{30} = (\frac{1}{3})^{10+20+30} = (\frac{1}{3})^{60}$

Упростим выражение в знаменателе:

$(\frac{1}{3})^{34} \cdot (\frac{1}{3})^{23} = (\frac{1}{3})^{34+23} = (\frac{1}{3})^{57}$

Разделим числитель на знаменатель, вычитая показатели степеней:

$\frac{(\frac{1}{3})^{60}}{(\frac{1}{3})^{57}} = (\frac{1}{3})^{60-57} = (\frac{1}{3})^3$

Вычислим конечный результат:

$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1}{27}$

Ответ: $\frac{1}{27}$

4) Основание степени в этом примере равно $-\frac{1}{6}$.

Упростим числитель:

$(-\frac{1}{6})^{25} \cdot (-\frac{1}{6})^{19} \cdot (-\frac{1}{6})^{16} = (-\frac{1}{6})^{25+19+16} = (-\frac{1}{6})^{60}$

Упростим знаменатель:

$(-\frac{1}{6})^8 \cdot (-\frac{1}{6})^{49} = (-\frac{1}{6})^{8+49} = (-\frac{1}{6})^{57}$

Выполним деление:

$\frac{(-\frac{1}{6})^{60}}{(-\frac{1}{6})^{57}} = (-\frac{1}{6})^{60-57} = (-\frac{1}{6})^3$

Вычислим значение. Так как показатель степени нечетный (3), знак минус сохранится:

$(-\frac{1}{6})^3 = -\frac{1^3}{6^3} = -\frac{1}{216}$

Ответ: $-\frac{1}{216}$

3.19. Найдите значение выражения:

1) $\frac{(-6)^{19} \cdot (-6)^{33}}{3,2^{24} \cdot 3,2^{6}} \cdot \frac{3,2^{96} \cdot 3,2^{12}}{(-6)^{28} \cdot (-6)^{29}} \cdot \frac{(-6)^{6}}{3,2^{77}};$

2) $\frac{1,7^{40} \cdot 1,7^{12} \cdot 20^{30}}{1,7^{39} \cdot 20^{6} \cdot 20^{7}} \cdot \frac{20^{7} \cdot 20^{8}}{1,7^{13} \cdot 1,7^{9}} \cdot \frac{1,7^{10}}{20^{31}}.$

1) Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Исходное выражение:

$\frac{(-6)^{19} \cdot (-6)^{33}}{3,2^{24} \cdot 3,2^{6}} \cdot \frac{3,2^{96} \cdot 3,2^{12}}{(-6)^{28} \cdot (-6)^{29}} \cdot \frac{(-6)^{6}}{3,2^{77}}$

Сначала перемножим числители и знаменатели дробей, сгруппировав степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{(-6)^{19} \cdot (-6)^{33} \cdot (-6)^{6} \cdot 3,2^{96} \cdot 3,2^{12}}{3,2^{24} \cdot 3,2^{6} \cdot 3,2^{77} \cdot (-6)^{28} \cdot (-6)^{29}}$

Теперь применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).

Для числителя:

$(-6)^{19+33+6} \cdot 3,2^{96+12} = (-6)^{58} \cdot 3,2^{108}$

Для знаменателя:

$(-6)^{28+29} \cdot 3,2^{24+6+77} = (-6)^{57} \cdot 3,2^{107}$

Подставим полученные значения обратно в дробь:

$\frac{(-6)^{58} \cdot 3,2^{108}}{(-6)^{57} \cdot 3,2^{107}}$

Теперь применим свойство деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$(-6)^{58-57} \cdot 3,2^{108-107} = (-6)^{1} \cdot 3,2^{1} = -6 \cdot 3,2 = -19,2$

Ответ: $-19,2$.

2) Аналогично первому примеру, используем свойства степеней.

Исходное выражение:

$\frac{1,7^{40} \cdot 1,7^{12} \cdot 20^{30}}{1,7^{39} \cdot 20^{6} \cdot 20^{7}} \cdot \frac{20^{7} \cdot 20^{8}}{1,7^{13} \cdot 1,7^{9}} \cdot \frac{1,7^{10}}{20^{31}}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями ($1,7$ и $20$) в числителе и знаменателе:

$\frac{(1,7^{40} \cdot 1,7^{12} \cdot 1,7^{10}) \cdot (20^{30} \cdot 20^{7} \cdot 20^{8})}{(1,7^{39} \cdot 1,7^{13} \cdot 1,7^{9}) \cdot (20^{6} \cdot 20^{7} \cdot 20^{31})}$

Сложим показатели степеней для каждого основания ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).

Для числителя:

$1,7^{40+12+10} \cdot 20^{30+7+8} = 1,7^{62} \cdot 20^{45}$

Для знаменателя:

$1,7^{39+13+9} \cdot 20^{6+7+31} = 1,7^{61} \cdot 20^{44}$

Получим дробь:

$\frac{1,7^{62} \cdot 20^{45}}{1,7^{61} \cdot 20^{44}}$

Применим свойство деления степеней ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$1,7^{62-61} \cdot 20^{45-44} = 1,7^{1} \cdot 20^{1} = 1,7 \cdot 20 = 34$

Ответ: $34$.

3.20. Верно ли равенство:

1)

$\frac{x^{100} \cdot x^{20} \cdot x^{60}}{x^{89} \cdot x^{72}} = \frac{x^{55} \cdot x^{36}}{x^{41} \cdot x^{13} \cdot x^{18}};$

2)

$\frac{x^{33} \cdot x \cdot x^{69}}{x^{47} \cdot x^{49}} = \frac{x^{53} \cdot x^{56} \cdot x^{60}}{x^{81} \cdot x^{2} \cdot x^{79}};$

3)

$\frac{a^{17} \cdot a^{47} \cdot a^{56}}{a^{81} \cdot a^{39}} = \frac{a^{80} \cdot a^{5} \cdot a^{37}}{a^{59} \cdot a^{63}};$

4)

$\frac{a^{31} \cdot a^{18} \cdot a^{27} \cdot a^{19}}{a^{22} \cdot a^{54} \cdot a^{16}} = \frac{a^{39} \cdot a^{23}}{a^{59}}?$

1) Для проверки равенства $ \frac{x^{100} \cdot x^{20} \cdot x^{60}}{x^{89} \cdot x^{72}} = \frac{x^{55} \cdot x^{36}}{x^{41} \cdot x^{13} \cdot x^{18}} $ необходимо упростить его левую и правую части, используя правила действий со степенями: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Упростим левую часть:
$ \frac{x^{100} \cdot x^{20} \cdot x^{60}}{x^{89} \cdot x^{72}} = \frac{x^{100+20+60}}{x^{89+72}} = \frac{x^{180}}{x^{161}} = x^{180-161} = x^{19} $.

Упростим правую часть:
$ \frac{x^{55} \cdot x^{36}}{x^{41} \cdot x^{13} \cdot x^{18}} = \frac{x^{55+36}}{x^{41+13+18}} = \frac{x^{91}}{x^{72}} = x^{91-72} = x^{19} $.

Поскольку $x^{19} = x^{19}$, левая и правая части равны. Ответ: равенство верно.

2) Проверим равенство $ \frac{x^{33} \cdot x \cdot x^{69}}{x^{47} \cdot x^{49}} = \frac{x^{53} \cdot x^{56} \cdot x^{60}}{x^{81} \cdot x^2 \cdot x^{79}} $. Учтём, что $x=x^1$.

Упростим левую часть:
$ \frac{x^{33} \cdot x^1 \cdot x^{69}}{x^{47} \cdot x^{49}} = \frac{x^{33+1+69}}{x^{47+49}} = \frac{x^{103}}{x^{96}} = x^{103-96} = x^7 $.

Упростим правую часть:
$ \frac{x^{53} \cdot x^{56} \cdot x^{60}}{x^{81} \cdot x^2 \cdot x^{79}} = \frac{x^{53+56+60}}{x^{81+2+79}} = \frac{x^{169}}{x^{162}} = x^{169-162} = x^7 $.

Поскольку $x^7 = x^7$, левая и правая части равны. Ответ: равенство верно.

3) Проверим равенство $ \frac{a^{17} \cdot a^{47} \cdot a^{56}}{a^{81} \cdot a^{39}} = \frac{a^{80} \cdot a^5 \cdot a^{37}}{a^{59} \cdot a^{63}} $.

Упростим левую часть:
$ \frac{a^{17} \cdot a^{47} \cdot a^{56}}{a^{81} \cdot a^{39}} = \frac{a^{17+47+56}}{a^{81+39}} = \frac{a^{120}}{a^{120}} = a^{120-120} = a^0 = 1 $ (при $a \neq 0$).

Упростим правую часть:
$ \frac{a^{80} \cdot a^5 \cdot a^{37}}{a^{59} \cdot a^{63}} = \frac{a^{80+5+37}}{a^{59+63}} = \frac{a^{122}}{a^{122}} = a^{122-122} = a^0 = 1 $ (при $a \neq 0$).

Поскольку $1=1$, левая и правая части равны. Ответ: равенство верно.

4) Проверим равенство $ \frac{a^{31} \cdot a^{18} \cdot a^{27} \cdot a^{19}}{a^{22} \cdot a^{54} \cdot a^{16}} = \frac{a^{39} \cdot a^{23}}{a^{59}} $.

Упростим левую часть:
$ \frac{a^{31} \cdot a^{18} \cdot a^{27} \cdot a^{19}}{a^{22} \cdot a^{54} \cdot a^{16}} = \frac{a^{31+18+27+19}}{a^{22+54+16}} = \frac{a^{95}}{a^{92}} = a^{95-92} = a^3 $.

Упростим правую часть:
$ \frac{a^{39} \cdot a^{23}}{a^{59}} = \frac{a^{39+23}}{a^{59}} = \frac{a^{62}}{a^{59}} = a^{62-59} = a^3 $.

Поскольку $a^3 = a^3$, левая и правая части равны. Ответ: равенство верно.