Страница 43 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Каким свойством обладает возведение степени в степень?

1. Какими могут быть основания степени и показатели, чтобы можно было применить правило возведения степени в степень?

2. Всегда ли можно возвести степень в степень?

Возведение степени в степень обладает свойством, которое позволяет упрощать такие выражения. Чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить без изменений, а показатели степеней перемножить.

Это свойство выражается следующей формулой:
$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

Например, `$(5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6 = 15625$`.
Можно проверить это вычислением по шагам: `$(5^2)^3 = 25^3 = 15625$`. Результаты совпадают.

1. Какими могут быть основания степени и показатели, чтобы можно было применить правило возведения степени в степень?
Чтобы правило `$(a^m)^n = a^{mn}$` применялось корректно и без исключений, условия зависят от того, какие числа являются показателями степеней.

• Если показатели `m` и `n` — любые действительные числа (включая дробные и иррациональные), то для строгого выполнения правила основание `a` должно быть положительным (`$a > 0$`).

• Если показатели `m` и `n` — целые числа, то правило справедливо для любого ненулевого основания `a` (`$a \neq 0$`).

• Особые случаи:

  • При `$a = 0$` выражение `$(0^m)^n$` будет определено только если `$m > 0$` и `$n > 0$`.

  • При отрицательном основании `$a < 0$` и дробных показателях правило может нарушаться. Например, `_((-2)^2)^{1/2} = 4^{1/2} = 2_`, но `_(-2)^{2 \cdot 1/2} = (-2)^1 = -2_`. Поскольку `$2 \neq -2$`, правило в данном случае не работает.

Ответ:Для универсального применения правила основание должно быть положительным (`$a > 0$`), а показатели могут быть любыми действительными числами. Если показатели целые, то основание может быть любым ненулевым числом.

2. Всегда ли можно возвести степень в степень?
Нет, не всегда. Операция возведения степени в степень `$(a^m)^n$` возможна только тогда, когда оба действия (внутреннее и внешнее возведение в степень) выполнимы в рассматриваемом множестве чисел (например, в множестве действительных чисел).

Возведение в степень может быть невыполнимо в следующих случаях:

• Когда внутреннее выражение `$a^m$` не определено. Например, если `$a=0$` и `$m$` — отрицательное число. Выражение `$0^{-2}$` не определено, так как означает деление на ноль. Следовательно, и все выражение `$(0^{-2})^3$` не имеет смысла.

• Когда внутреннее выражение `$a^m$` определено, но результат нельзя возвести во внешнюю степень `n`. Например, если `$a = -9$`, `$m=1$`, то `$a^m = -9$`. Если при этом `$n = 1/2$`, то нужно вычислить `$_(-9)^{1/2}_` (квадратный корень из -9), что невозможно в множестве действительных чисел.

Ответ:Нет, не всегда. Операция выполнима только если промежуточные и конечный результаты вычислений определены.